Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Прямые y ₁= k ₁ x + b ₁ и y ₂= k ₂ x + b ₂ параллельны друг другу, если . Следовательно, , то есть k ₁= k ₂.

Прямые y ₁= k ₁x+ b ₁ и y ₂= k ₂ x + b ₂ перпендикулярны друг другу, если . Следовательно, , то есть k ₁ k ₂ = -1. Отсюда .

Если прямые заданы общими уравнениями, то:

А ₁ В ₁ – А ₂ В ₁=0, – условие параллельности,

А ₁ А ₂+ В ₁ В ₂=0 – условие перпендикулярности прямых.

Уравнение пучка прямых

Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через некоторую точку M (x ₀ ,y ₀), называется пучком прямых с центром М ₀.

Если A ₁ x+B ₁ y+C ₁=0 и A ₂ x+B ₂ y+C ₂=0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М ₀; то уравнение A ₁ x+B ₁ y+C ₁+ (A ₂ x+B ₂ y+C ₂)=0

определяет все прямые пучка, кроме второй из прямых.

ПП 7.1. Прямая на плоскости
ПП 7.1. №1.	треугольник задан уравнениями трех его сторон: АС: х – 2 у + 5 = 0, АВ: х + 2 у – 3 = 0, ВС: 2 х + у – 15 = 0. Определите следующие элементы треугольника: а) координаты вершин, б) уравнения высот, в) уравнения медиан, г) длины сторон, д) уравнения биссектрис, ж) центр и радиус вписанной окружности, з) центр и радиус описанной окружности, и) центр тяжести треугольника, к) внутренние углы треугольника, л) площадь треугольника. Решение: а) Координаты вершин треугольника находятся как точки пересечения соответствующих сторон. Так, например, координаты точки А являются решением системы уравнений А (-1, 2). Аналогично находятся В (9, -3) и С (5, 5).   б) Высотой треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону. Так h c = CC 1 ^ AB. Уравнение высоты СС 1 ищем как уравнение прямой у = k 1 x + b, если известен угловой коэффициент прямой АВ: равный Из условия перпендикулярности прямых k 1 k 2=-1 ® k 1 = 2. Поскольку высота СС 1 проходит через точку (5, 5), уравнение h c имеет вид: у – 5 = 2 × (х – 5) или у = 2 х – 5. Анализ уравнений сторон АС: и ВС: у = -2 х + 5 убеждает нас в том, что АС ^ ВС, и треугольник является прямоугольным, значит, уравнение h A: h B: у = -2 х + 15.   в) Медианой называется отрезок прямой, соединяющей вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Координаты середин сторон находятся по формулам деления отрезка в данном отношении: С 2(4, -1/ 2), В 2 (2, 7/2), А 2 (7, 1). Уравнение медианы mC = CC 2 получается как уравнение прямой, проходящей через точки С и С 2: или mC:11 х– 2 у– 45 = 0. Аналогично mВ:13 х+ 14 у– 75 = 0, mА: x+ 8 y– 15 = 0. г) Длины сторон найдем по формуле расстояния между двумя точками:   д) Биссектрисой треугольника называется лежащий в треугольнике отрезок прямой, которая делит его внутренний угол пополам. Укажем два способа нахождения уравнения биссектрисы треугольника. 1). Биссектриса делит противолежащую сторону в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам. Если С3 – точка пересечения биссектрисы lC = CC3 со стороной АС, то Координаты точки С3 находим по формулам деления отрезка в данном отношении l = 3/4: С 3 (23/7, -1/7). Уравнение биссектрисы lC = CC3 получается как уравнение прямой, проходящей через точки С3 и С (5, 5): или 3 х – у – 10 = 0. 2). Уравнение биссектрисы lC = CC3 может быть найдено из условия того, что точки биссектрисы CC3 равноудалены от сторон АС и СВ. Вычислим отклонения точки (х, у), лежащей на биссектрисе, от сторон АС и СВ (см. п.2.7): dАС и dСВ отрицательны, так как начало координат и точки биссектрисы треугольника лежат по одну сторону от каждой из сторон АС и СВ. Учитывая, что d = |d|, уравнение биссектрисы получим из равенства ,-dАС = -dСВ, которое принимает вид: или lC: 3 х – у – 10 = 0. Для вычисления биссектрисы угла А lА применим второй способ. Отклонение отрицательно, так как начало координат и биссектриса lА лежат по одну сторону от стороны АС. Отклонение положительно, так как начало координат и биссектриса lА лежат по разные стороны от стороны АВ. Для биссектрисы lА справедливо -dАС = dАВ, то есть или х – 2 у + 5 = х + 2 у – 3. Следовательно, 4 у = 8. Таким образом, lА: у = 2. уравнение lВ: х+у – 6 = 0 может быть найдено одним из двух способов.   ж) Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис lС и lА треугольника. Система уравнений, составленная из уравнений биссектрис: имеет решение х = 4, у = 2. Следовательно, центр вписанной окружности находится в точке О 1 (4, 2). Радиус вписанной окружности найдем как расстояние от точки О 1 до стороны АС: где х 0 = 4, у 0 = 2. Таким образом,   з) Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.     Координаты середин сторон АС и АВ найдены в п.в): С 2 (4, -1/2), В 2 (2, 7/2 ). Уравнения линий серединных перпендикуляров находим аналогично вычислениям в п.б). Угловые коэффициенты равны 2 и -2 соответственно, и эти прямые проходят через точки С 2 и В 2, их уравнения имеют вид: Система уравнений, составленная из уравнений серединных перпендикуляров: , имеет решение х = 4, у = -1/2. Следовательно, центр описанной окружности находится в точке О 2 (4, -1/2). Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине АВ:   и) Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения медиан. 1) Из п.в) имеем систему уравнений для определения координат центра тяжести как точки пересечения медиан mС и mB: Система имеет решение х =4,33, у = 1,3. Следовательно, центр тяжести треугольника находится в точке О 3 (4,33; 1,3). 2) Укажем, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2: 1, считая от вершины. Таким образом, координаты центра тяжести могут быть найдены как координаты точки О3, делящей медиану в отношении Если воспользоваться формулами деления отрезка в данном отношении, то координаты точки:   и) Внутренние углы треугольника могут быть найдены через угловые коэффициенты прилежащих сторон. Например, внутренний угол при вершине А треугольника Следовательно, Ð А = arctg(4/3).   к) По формуле площади треугольника имеем 1) 2) Площадь треугольника может быть вычислена по формуле: SD = p × r, где p – полупериметр треугольника; r – радиус вписанной окружности. Поскольку (кв. ед.).	а) А (-1, 2), В (9, -3), С (5, 5), б) , у=- 2 х+ 15, у= 2 х– 5, в) x+ 8 y– 15 = 0, 13 х+ 14 у– 75 = 0, 11 х– 2 у– 45 = 0, г) , д) у = 2, х+у– 6=0, 3 х–у– 10=0, ж) О 1(4,2), , з) О 2(4,-1/2), , и) , к) 30.
ПП 7.1. №2.	Найдите проекцию точки Р (4, 9) на прямую, проходящую через точки А (3, 1) и В (5, 2). Решение: Искомую точку М найдем, решая совместно уравнение прямой АВ с уравнением перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р. Уравнение перпендикуляра из точки Р на прямую АВ ищем в виде у – 9 = k (x – 4); из условия перпендикулярности М =
ПП 7.1. №3.	Постройте прямую 3 х – 5 у + 15 = 0. Решение:     Уравнение прямой в отрезках имеет вид: прямая отсекает на осях отрезки (-5) и 3.	5 х + 12 у+ + 6 = 0
ПП 7.1. №4.	Даны две прямые 2 х + 3 у – 5 = 0, 7 х + 15 у + 1 = 0, пересекающиеся в точке М. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку М перпендикулярно к прямой 12 х – 5 у – 1 = 0. Решение: Прямые 2 х + 3 у – 5 = 0, , 7 х + 15 у + 1 = 0, пересекаются, так как они имеют разные угловые коэффициенты. Составим уравнение пучка прямых, проходящих через точку их пересечения М: 2 х + 3 у – 5 + l×(7 х + 15 у + 1) = 0, (2 + 7l)× х + (3 + 15l)× у + (-5 + l) = 0 Выделим в этом пучке искомую прямую . По условию искомая прямая перпендикулярна прямой 12 х – 5 у – 1 = 0, для которой . , l = -1 и уравнение искомой прямой принимает вид: 5 х + 12 у + 6 = 0.
ПП 7.1. №5.	Напишите уравнение прямой L, проходящей через точку М (2, 1) под углом 45° к прямой L1: 2 х + 3 у + 4 = 0. Решение: L1: 2 х + 3 у + 4 = 0, . , М (2,1) ,
ПП 7.1. №6.	Составьте уравнение прямой L, параллельной прямым L1: х + 2 у – 1 = 0 и L2: х + 2 у + 2 = 0 и проходящей посередине между ними.     Решение: 1-ый способ. Уравнение прямой L будем искать в виде А (х – х 0) + В (у + у 0) = 0. В качестве нормального вектора можно выбрать нормальный вектор прямых L1 и L2, равный {1, 2}. Найдем какую-нибудь точку М 0 (х0, у 0) Î L. Точка М 0 будет делить пополам отрезок, соединяющий две любые точки, лежащие на L 1 и L 2. Например, М 1 (1, 0 ) Î L 1 и М 2 (-2, 0 ) Î L2, тогда точка М 0 имеет координаты (-1/2, 0), и уравнение прямой L принимает вид: х + 2 у + 1/2 = 0. 2 –ой способ. Произвольная точка М (х, у) Î L, если | d (М, L 1) | = | d (М, L 2) |. Для снятия модуля определим знаки отклонений точки М (х, у) от прямых L1 и L2. Для этого нужно выяснить взаимное расположение начала координат, точки М (х, у) и прямых L 1 и L2. Приведем уравнения прямых к нормальному виду: где - единичные векторы нормалей к прямым L1 и L2, проведенным из начала координат. Видим, что противоположны по направлению, значит, начало координат лежит в полосе между прямыми L1 и L2. Точка М и начало координат лежат по одну сторону как от прямой L1, так и от прямой L 2, значит, отклонения точки М от прямых L 1 и L 2 имеют один и тот же отрицательный знак. Из следует, что х + 2 у – 1 = -х – 2 у – 2 и х + 2 у + 1/2 = 0.	х+ 2 у+ 1/2=0