Геометрическое определение вероятности события

ВВЕДЕНИЕ

 

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделения факультета №14 специальностей 150601.65, 160301.65, 220301.65, 230102.65. Указания выделяют основные понятия темы и определяют последовательность изучения материала.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что его нельзя применить к испытаниям с бесконечным числом исходов. По классической схеме испытания число возможных исходов испытания должно быть конечным. Этот недостаток можно преодолеть, если ввести понятие геометрического определения вероятности.

Рассмотрим геометрическую схему испытания: результат испытания определяется случайным положением точки в некоторой области, причем любые положения точек в этой области равновозможны. Геометрическая вероятность тогда определяется как вероятность попадания точки в некоторую область: одномерную (например, отрезок прямой, длина дуги и т.п.), двумерную (площадь некоторой фигуры) или трехмерную (объем некоторого тела в пространстве).

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры (размера) области, благоприятствующей появлению события А, к мере (размеру) всей области:

где G – размер (длина, площадь или объем) всей области, G₀ – размер той части области, попадание в которую благоприятствует данному событию.

ПРИМЕР 1. На отрезке длиной40 см помещен отрезок длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок.

Решение. Вероятность попадания точки на меньший отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно большого отрезка. Тогда:

ПРИМЕР 2. В квадрат вписан круг радиусом r. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в квадрат, окажется внутри круга.

Решение. Площадь квадрата S =4 r ²; площадь круга S₀ =π r ². Тогда:

ПРИМЕР 3. Два друга условились встретиться в определенном месте, договорившись только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 11 и 12 ч. и ждет в течение 30 мин. Если один из них к этому времени еще не пришел или уже успел уйти, то встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Решение. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат. Обозначим моменты прихода двух друзей через х и у. По условию: или (если за начало отсчета взять 11 ч.). Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату OKLM со стороной, равной 1 (рис.1).

О 0,5 М х

 

Рис. 1. Геометрическая схема встречи

 

Событие С – «встреча друзей состоится» – можно представить в виде точки, брошенной на квадрат OKLM. Оно произойдет, если разность между х и у не превзойдет 0,5 ч (по абсолютной величине), т.е. или На рис. 1 этому неравенству соответствует полоса, обозначенная через g.

Площадь квадрата G равна S_G =1,0. Площадь полосы g равна S_g =1- 2(1/2)·0,5²=0,75 или S_g =1-0,5²=0,75.

Тогда:

ЗАДАЧИ

1. На отрезке длиной 20 см помещен меньший отрезок длиной 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший отрезок. Отв. 1/2.

2. В течение промежутка времени от 11 ч. до 11ч. 30 мин. должен быть телефонный звонок. Какова вероятность того, что звонок последует в последние 10 мин. Отв. 1/3.

3. Диск разделен на 12 секторов, попеременно окрашенных в черный, белый и синий цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность, что пуля попадет в один из белых секторов. Отв. 1/3.

4. В круг радиусом R помещен меньший круг радиусом r. Найти вероятность того, что точка, поставленная наудачу в большой круг, попадет также и в малый круг. Отв. r ²/ R ².

5. На плоскости начерчены две концентрические окружности с одним центром и радиусами 5 см и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная на удачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное окружностями. Отв. 0,75.

6. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата со стороной а; б) равностороннего треугольника со стороной а. Отв. а) а ²/ πR ²; б) а ³/4 πR ³.

7. Два студента договорились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение ¼ часа, после чего уходит. Найти вероятность, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода в промежутке от 12 до 13 часов. Отв. 7/16.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте классическое определение вероятности события. В чем состоит его недостаток?

2. Сформулируйте геометрическое определение вероятности события.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001. ­– 479 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001. – 400 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………............. 3

1. Геометрическое определение вероятности события …………3

2. Задачи..………………...………………………………………. 6

3. Контрольные вопросы…………………………………………. 7

Литература.………………………………………………………7

 

Юлия Борисовна Егорова

Игорь Михайлович Мамонов

Татьяна Анатольевна Никулина

 

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

 

Методические указания к практическим занятиям

по курсу «Высшая математика»

 

Ведущий редактор О.В. Филиппова

 

Подп. в печать

Усл.печ.л. 0,5 п.л. Уч.-изд.л. 0,33

Формат 60х84/16.

Тираж 30 экз. Зак. №6

 

 

Издательско-типографский центр МАТИ

109240 Москва, Берниковская наб., 14