Уравнение прямой на плоскости

Прямую на плоскости можно задавать уравнениями разных видов. Для решения задач следует использовать уравнение, наиболее удобное для данной задачи.

Уравнение с угловым коэффициентом:

y = kx + b. (3)

В этом уравнении угловой коэффициент k – это тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс. Угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Недостаток этого уравнения: им невозможно задать вертикальную прямую x = a.

Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0. (4)

Этим уравнением можно задать любую прямую. Коэффициенты А, В, С при этом определяются не однозначно, а с точностью до пропорциональности.

Уравнение прямой в отрезках:

. (5)

Здесь знаменатели а и b – это координаты точек пересечения прямой с соответствующими координатными осями. С помощью такого уравнения невозможно задать прямую, проходящую через начало координат или параллельную одной из осей.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M ₁(x ₁, y ₁) и M ₁(x ₂, y ₂):

. (6)

В этом уравнении один из знаменателей может оказаться равным 0. Тогда общее уравнение прямой получаем, приравнивая к 0 соответствующий числитель (на другую часть уравнения не обращаем внимания).

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M (x ₀, y ₀) с угловым коэффициентом k:

y – y ₀ = k (x – x ₀). (7)

Каноническое уравнение прямой:

. (8)

Здесь M (x ₀, y ₀) – точка, через которую проходит прямая, а (m, n) – направляющий вектор, задающий направление прямой.

Любой из приведенных видов уравнений легко преобразовать в любой другой.

Дополнительные формулы.

Угол между двумя прямыми.

Пусть прямые имеют угловые коэффициенты k ₁ и k ₂. Тогда угол j между ними определяется из условия

. (9)

Условие перпендикулярности двух прямых с угловыми коэффициентами k ₁ и k ₂:

k ₁ k ₂ = –1. (10)

Условие параллельности двух прямых с угловыми коэффициентами k ₁ и k ₂:

k ₁ = k ₂ . (11)

Расстояние от точки M (x ₀, y ₀) до прямой Ax + By + C = 0:

. (12)

Площадь треугольника АВС с вершинами А (x ₁, y ₁), В (x ₂, y ₂), С (x ₃, y ₃):

. (13)

Пример 1.4.2. Даны три точки А (3; 1), В (–2; 3), С (1; –2). а) Построить уравнение прямой АВ; б) Найти тангенс угла между прямыми АВ и АС; в) построить уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С;
г) построить уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С; д) найти расстояние между точками А и С; е) найти расстояние между точкой С и прямой АВ; ж) найти площадь треугольника АВС.

Решение. а) Воспользуемся формулой (6):

;

;

2 x – 6 = –5 y + 5;

2 x + 5 y – 11 = 0 – общее уравнение прямой.

б) Приведем уравнение прямой АВ, полученное в пункте а) к виду (3):

.

Отсюда ее угловой коэффициент . Аналогично находим угловой коэффициент прямой АС, построив ее уравнение:

;

–3 x + 9 = –2 y + 2;

3 x – 2 y – 7 = 0;

;

.

Теперь по формуле (9) получаем

.

в) Угловой коэффициент k ₃ перпендикуляра к АВ находим из условия (10): k ₁ k ₃ = –1, где из пункта б). Отсюда . Уравнение перпендикуляра находим по формуле (7):

y – (–2) = ;

2 y + 4 = 5 x – 5;

5 x – 2 y – 9 = 0.

г) Согласно формуле (11), угловой коэффициент прямой, параллельной АВ, также равен . Поэтому по формуле (7) получаем уравнение

y – (–2) = ;

5 y + 10 = –2 x + 2;

2 x + 5 y + 8 = 0.

д) Воспользуемся формулой (1):

.

е) Воспользуемся формулой (12) и уравнением прямой АВ из пункта а):

.

ж)Воспользуемся формулой (13):

.

У п р а ж н е н и я

1.5.1. Построить уравнение прямой, пересекающей координатные оси в точках (2; 0) и (0; –3).

1.5.2. Даны три точки А (–2; 1), В (1; –3), С (2; 3). а) Построить уравнение прямой АВ; б) найти тангенс угла между прямыми АВ и АС; в) построить уравнение перпендикуляра к прямой АВ, проходящего через точку С; г) построить уравнение прямой, параллельной АВ и проходящей через точку С; д) найти расстояние между точками А и В; е) найти расстояние между точкой С и прямой АВ; ж) найти площадь треугольника АВС.

Векторная геометрия

В геометрическом векторном пространстве стандартный базис состоит из векторов, имеющих единичную длину, расположенных по координатным осям и направленных в положительную сторону соответствующих координатных осей. Векторы, соответствующие осям 0 x, 0 y, 0 z, обозначают соответственно , , и называют основными или базовыми ортами.

Проекция вектора на прямую – это вектор, начало и конец которого есть проекции начала и конца вектора на эту прямую.

В разложении вектора = (a₁, a₂, a₃) по базису: = a₁ + a₂ + a₃ слагаемые являются проекциями вектора на соответствующие координатные оси.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными; параллельные одной плоскости – компланарными.

Перпендикулярные векторы называют ортогональными.

Если = (a, b, c) и известны координаты точки A (x ₁, y ₁, z ₁), то координаты точки B (x ₂, y ₂, z ₂) находим сложением этих координат: x ₂ = x ₁ + a, y ₂ = y ₁ + b, z ₂ = z ₁ + c. Аналогично координаты начала вектора получаются из координат конца вычитанием координат вектора.

Пример 1.6.1. Найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, если заданы координаты А (2, –1, 1), В (4, 2, 0), С (–3, 1, –2).

Решение. Изобразим параллелограмм ABCD на рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы было наглядно видно, какие векторы использовать в вычислениях. Замечаем, что

= = (–3 – 4, 1 – 2, –2 – 0) = (–7, –1, –2),

и получаем координаты D (2 – 7, –1 – 1, 1 – 2), или D (–5, –2, –1).

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и определяется формулой:

= cosa, (1)

где a – угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1. = .

2. = .

3. = .

4. .

5. Критерий ортогональности векторов: .

6. Если = (a ₁, a ₂, a ₃), = (b ₁, b ₂, b ₃) то = a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + a ₃ b ₃. Такая же формула с двумя слагаемыми для плоского случая.

Пример 1.6.2. Найти косинус угла a между векторами = (2, –1, 3), и = (3, 2, –2).

Решение. Из формулы (1) получаем cosa = ;

= = –2;

;

;

cosa = .

Пример 1.6.3. Найти площадь треугольника АВС, если заданы координаты вершин А (2, –1, 3), В (3, 2, –2), С (0, 3, 1).

Решение. Площадь находим по формуле , где a – угол между АВ и АС. Вводим векторы

= (3 – 2, 2 – (–1), –2 – 3) = (1, 3, –5);

= (0 – 2, 3 – (–1), 1 – 3) = (–2, 4, –2).

cosa находим, как в примере 1.6.2:

= –2 + 12 + 10 = 20;

; ;

cosa = ;

;

.

Замечание. При вычислении sina сокращение не производилось специально, чтобы упростить вычисления на последнем шаге.

Векторное произведение

Упорядоченная тройка векторов , , пространства называется правой, если при совмещении их начал в одной точке из конца вектора поворот от к наблюдается против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. Эта характеристика называется ориентацией тройки векторов.

Если векторы в тройке сдвинуть по кругу, то ориентация не изменится. Если же поменять местами два вектора, то ориентация изменится на противоположную.

Векторным произведением векторов и называется вектор = ´ такой, что:

(a) , где a – угол между векторами;

(b) , ;

(c) векторы , , образуют правую тройку.

Свойства векторного произведения:

1. ´ = – ´ (антикоммутативность).

2. = .

3. = .

4. Критерий коллинеарности векторов: .

5. .

6. Геометрический смысл векторного произведения: площадь параллелограмма, стороны которого задаются векторами и , равна модулю их векторного произведения: .

7. Если = (a ₁, a ₂, a ₃), = (b ₁, b ₂, b ₃), причем базисные векторы образуют правую тройку, то .

Пример 1.6.4. Найти векторное произведение векторов = (2, –1, 3), и
= (3, 2, –2).

Решение. По свойству (7) получаем

=

= (2 – 6) – (–4 – 9) + (4 + 3) = –4 + 13 + 7 = (–4, 13, 7).

Пример 1.6.5. Найти площадь параллелограмма ABCD, если заданы координаты вершин A (3, 2, 0), C (2, –1, 2) D (1, 3, –4).

Решение. Изобразим параллелограмм ABCD на рисунке, чтобы понять, какие векторы задают стороны параллелограмма. Так как заданы точки A, C, D, то естественно использовать векторы и (хотя направление векторов не имеет значения, можно взять противоположные векторы):

= (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

= (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

= (10, –8, –7);

.

Смешанное произведение

Смешанным произведением векторов , , называется число ( ´ ) .