Образцы решения основных типов дифференциальных уравнений

 

Пример 1. Решить д.у. .

Решение. Переписав данное д.у. в виде

,

замечаем, что это - д.у. с разделяющимися переменными. Разделим переменные, поделив обе его части на произведение , а затем проинтегрируем получившееся д.у.:

.

После потенцирования находим общее решение: , где .

Непосредственной подстановкой в данное д.у. убеждаемся, что решения уравнения тоже являются решениями исходного дифференциального уравнения.

Ответ. .

Пример 2. Решить д.у. .

Решение. Поскольку

,

т.е. функции и - однородные функции 4-ой степени, то данное д.у. - однородное. В результате подстановки данное д.у. приводится к д.у. с разделяющимися переменными

.

Поделив его на произведение , получим:

.

Проинтегрировав последнее уравнение, имеем:

или после обратной замены , получаем общий интеграл данного д.у.:

,

где .

Другое его решение, не входящее в общее, находим из условия : (в чем можно убедиться, подставив его в данное д.у.).

Ответ.

 

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Переписав данное д.у. в виде:

,

убеждаемся, что это - линейное относительно д .у.

1-йспособ. Применим метод вариации произвольной постоянной. Для этого найдем вначале общее решение соответствующего однородного д.у.

или .

Это д.у. с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, находим его общее решение: . Проварьируем постоянную , т.е. далее будем считать ее функцией от . Тогда имеем:

. (6)

Найдем отсюда и подставим в данное д.у. Тогда получим:

,

откуда или с учетом (6) окончательно находим

.

Ответ. .

 

2-й способ. Применим подстановку , где - неизвестные функции от . В новых переменных данное уравнение имеет вид ():

. (7)

Приравняем выражение в скобке к нулю и найдем любое частное решение уравнения:

.

Это д.у. с разделяющимися переменными. Одно из его решений . С учетом найденного уравнение (7) принимает вид:

,

откуда . В итоге имеем или .

Ответ. .

 

Пример 4. Решить д.у. .

Решение. Поскольку

,

то данное д.у. - уравнение в полных дифференциалах в области .

Так как существует функция , такая, что

,

то можно записать следующую систему уравнений:

Проинтегрируем первое уравнение системы:

где - неизвестная функция. Для ее нахождения подставим найденное выражение для функции во второе уравнение системы:

,

откуда имеем: . Учитывая это, запишем выражение для функции : , а тогда данное уравнение в D имеет общее решение:

.

Ответ. .

 

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Поскольку

,

то данное д.у. не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся подобрать интегрирующий множитель. Так как

то

.

Умножим данное д.у. на этот интегрирующий множитель:

, где ,

и решим получившееся д.у. в полных дифференциалах:

Ответ.

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Данное д.у. - уравнение Лагранжа, здесь . После введения параметра (заметим, что ) уравнение примет вид:

.

Продифференцируем последнее уравнение по :

Последнее уравнение - линейное. Применим для его решения метод вариации произвольной постоянной. Для этого вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

.

Разделяя переменные, находим его общее решение . Проварьируем постоянную , считая, что . Тогда . С учетом этого линейное уравнение принимает вид , откуда . Общее решение линейного уравнения .

Итак, данное уравнение Лагранжа имеет общее решение, которое в параметрической форме записывается так:

Кроме того, и - решение данного уравнения, не получаемое из общего.

 

Ответ: .