Пределы иррациональных выражений

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ

Введение

Вычисление пределов функций начинают с непосредственной подстановки предельного значения основной переменной в выражении для функции, используя правила предельного перехода под знаком непрерывной функции, теоремы о пределах. Если получают неопределенности:

используют различные приемы их «раскрытия».

Ниже приведенное правило дет некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, связь между ними.

Правило 1.

Если

- (постоянная величина),

- ограниченная функция,

- бесконечно малая функция (или короче “0”),

- бесконечно большая функция, то

1) 2) ( - одного знака);

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

 

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при

 

Примечание. Приближенными равенствами 6 и 8 пользуется в другой форме при

 

Правило 1.

При нахождении предела отношения бесконечно малых при бесконечно больших функций каждую из них (или одну) можно заменить другой функцией, ей эквивалентной. То есть:

(1.1)

 

Правило 2.

Алгебраическая сумма бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

 

Правило 3.

Алгебраическая сумма бесконечно больших функций разных поряд-ков эквивалентна слагаемому высшего порядка.

 

 

Правило 4.

При вычислении предела показательно-степенной функции где и

пользуются равенством:

(1.2)

 

Правило 5.

Неопределенности вида или приводят к виду дроби, которая может дать новые – типа или .

Часто используются при вычислении пределов следующие свойства показательной и степенной функции:

(1.3)

(1.4)

(1.5)

 

Пределы рациональных функций

Пример 1.

(Пр.4); Пр.2 Пр. 1.8

Пример 2. Пр. 1.11 Пр. 6 Пр. 1.11

Пример 3. Пр. 4, Пр.2

Пример4. Пр.6 Пр.4,Пр.2

Примечание. Если бы мы воспользовались вначале последовательно правилами 4 и 2, то получили бы:

что неверно, так как разность эквивалентных бесконечно больших функций есть функция более низкого порядка, чем каждая из них (бесконечно большая, постоянная) как в рассмотренном примере, или, в крайнем случае, предел их разности может быть бесконечно малой функцией (см. пример 2 пункта. 2.4.2).

Пример 5. /разложим многочлены на множители/=

 

Пределы иррациональных выражений

Пример 1. Пр. 4, Пр. 2

Примечание. При вычислении пределов иррациональных выражений, дающих неопределенности типа или используют введение новой переменной, освобождающей от иррациональности, или преобразование выражения с помощью сопряженного ему. Например, парами взаимно сопряженных выражений будут:

1) и

2) и

3) и которые при вычислении пределов используются в формах:

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Пример 2. Пр.6

Пример 3.

Пример 4.

Примечание. Обратите внимание на то, что при вычислении предела 5 из пункта 2.4.I и 3,4 настоящего пункта, при раскрытии неопределенности и стараются так преобразовать выражение, чтобы дробь можно было сократить на множители стремящийся к нулю.