В. Криволинейные и поверхностные интегралы.

Программа по математическому анализу. 2 курс, 3 семестр.

Ряды Фурье.

1. Некоторые сведения о периодических функциях. Теорема о значениях интеграла от периодической с периодом Т функции.

2. Коэффициенты Эйлера-Фурье и ряд Фурье.

3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

4. Основная теорема о сходимости тригонометрических рядов Фурье.

5. Разложение функций, заданных на сегменте [0,L], в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам.

6. Комплексная форма записи ряда Фурье.

7. Интеграл Фурье.

8. Комплексная форма записи интеграла Фурье.

А. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.

1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Критерий Коши таких интегралов.

2. Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1-го рода, теоремы сравнения. Условная сходимость несобственных интегралов 1-го рода, теорема Абеля-Дирихле.

3. Интегралы от неограниченных функций с конечными пределами интегрирования (несобственные интегралы 2-го рода). Критерий Коши таких интегралов. Теоремы о сходимости несобственных интегралов 2-го рода.

4. Главное значение расходящегося интеграла.

5. Собственные интегралы, зависящие от параметра и их свойства: теорема о непрерывности по параметру; теорема о дифференцируемости по параметру; теорема о дифференцируемости по параметру в случае, когда пределы интегрирования зависят от параметра; теорема об интегрируемости по параметру.

6. Класс несобственных интегралов, зависящих от параметра и содержащих ограниченную подынтегральную функцию.

7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра и их равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов зависящие от параметра 1-го и 2-го рода. Мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра 1-го рода.

8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра: непрерывность по параметру; дифференцируемость по параметру; интегрируемость по параметру.

9. Классы несобственных интегралов, зависящих от параметра, вычисляемые с помощью дифференцирования и интегрирования по параметру: интеграл Дирихле, интеграл Пуассона-Эйлера, интегралы Френеля, интегралы Фрулани.?

10. Гамма-функция Эйлера и её свойства.

11. Бета-функция Эйлера и её свойства: симметричность, формула понижения, связь между гамма и бета функциями, формула дополнения.

 

Б. Кратные интегралы.

1. Квадрируемые фигуры, свойства площадей. Кубируемые фигуры, свойства объёмов.

2. Определение двойного интеграла и условия его существования.

3. Определение тройного интеграла и условия его существования.

4. Классы интегрируемых функций и свойства двойных и тройных интегралов.

5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области. Вычисление тройного интеграла в случае прямоугольного параллелепипеда.

6. Вычисление двойных и тройных интегралов в случае криволинейных областей.

7. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве.

8. Площадь в криволинейных координатах. Объём в криволинейных координатах.

9. Замена переменных в двойных и тройных интегралах.

10. Приложения двойных и тройных интегралов: вычисление площадей и объёмов; вычисление массы тела переменной плотности; вычисление координат центра масс пластины и тела; притяжение материальной точки телом.

 

В. Криволинейные и поверхностные интегралы.

1. Криволинейные интегралы 1-го рода и их свойства. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

2. Криволинейные интегралы 2-го рода и их свойства. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

3. Формула Грина (связь двойных и криволинейных интегралов).

4. Условие независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути.

5. Приложения криволинейных интегралов.

6. Сведения из дифференциальной геометрии поверхностей: определение поверхности; способы задания поверхностей; нормальный вектор к поверхности; первая квадратичная форма поверхности.

7. Площадь поверхности.

8. Поверхностные интегралы 1-го рода и их свойства.

9. Ориентация поверхности и поверхностные интегралы 2-го рода.

10. Вычисления поверхностных интегралов 2-го рода.

11. Формула Остроградского-Гаусса.

12.Формула Стокса.

13. Условия независимости криволинейного интеграла от пути в пространстве.

Г. Основы векторного анализа.

1. Скалярные поля. Поверхности уровня. Градиент и производная по направлению.

2. Векторные поля. Векторные (силовые) лини и векторные трубки. Потенциальное векторное поле.

3. Ротор векторного поля. Формула Стокса.

4. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса.

5. Соленоидальное векторное поле.

6. Дифференциальные операции с оператором Гамильтона.

7. Оператор Гамильтона в ортогональной криволинейной системе координат.

8. Дивергенция в ортогональной криволинейной системе координат.

9. Ротор в ортогональной криволинейной системе координат.

Д. Основы тензорного анализа.

1. Аффинное пространство. Определение одновалентного ковариантного и контравариантного тензора.

2. Определение общего тензора. Алгебраические операции над тензорами: сложение, умножение тензоров, свёртывание тензоров; перестановка аргументов у фиксированного тензора; симметрирование и альтернирование тензоров по группе аргументов.

3. Евклидовы и псевдоевклидовы пространства. Тензоры в евклидовом и псевдоевклидовом пространстве.

4. Тензорное поле. Криволинейная система координат в евклидовом пространстве.

5. Символы Кристоффеля для метрического тензора.

6. Параллельный перенос и ковариантная производная.

7. Смысл ковариантной производной в 3-х мерном евклидовом пространстве.