Уравнения Лагранжа II рода.

Лекция 8. Общее уравнение динамики.

Легко показать, что все типы связей, обычно рассматриваемые в задачах механики – гладкая поверхность, идеальная нить, шарниры, подпятник, глухая заделка являются идеальными. Неидеальность связей часто обусловлена наличием трения скольжения или качения. В этом случае часть реакции связи, для которой нарушается идеальность, переводится формально в разряд активных сил и задается в условии или определяется в задаче. В дальнейшем мы будем рассматривать именно такие механические системы, то есть системы с идеальными связями или со связями, которые описанным приемом могут быть переведены в разряд идеальных. Для таких систем имеет смысл сформулировать положение, которое также имеет форму аксиомы, объединяющее II закон Ньютона, принцип независимости действия сил (точнее правило параллелограмма), принцип освобождаемости от связей и принцип идеальности связей. Это положение называется в литературе по механике по-разному – принцип д’Аламбера-Лагранжа, общее вариационное уравнение механики, общее уравнение динамики. Применение этого принципа для вывода других положений и теорем теоретической механики дает существенный выигрыш, и будет использоваться нами постоянно.

Каждая точка механической системы может взаимодействовать с другими точками и телами данной механической системы, с точками и телами, не принадлежащими ей, а также с внутренними и внешними связями. Объединим все силы реакций указанных связей, действующих на i-ю точку МС в одну силу , согласно правилу параллелограмма складывая их попарно. То же самое сделаем с активными силами, получим силу . С помощью второго закона Ньютона запишем уравнения движения точек системы

, i=1,2,…,N. (8.1)

Чтобы применить условие идеальности связей, надо разрешить эти уравнения относительно реакций связей и подставить полученные выражения в (7.8). Это дает

.

Для более удобной формулировки этого принципа поменяем местами слагаемые в круглых скобках. Величину

,

имеющую размерность силы, в механике принято называть «Д’Аламберова сила инерции точки» или просто «сила инерции точки». Тогда

в каждый момент времени при движении механической системы с идеальными удерживающими связями сумма виртуальных работ активных сил и сил инерции равна нулю

(8.2)

Лекция 9. Обобщенные силы

Обобщенные силы. Пусть имеется явно или неявно заданное выражение радиус-векторов точек системы через обобщенные координаты и время t

, i=1,2,…,N. (9.1)

Применим операцию изохронного варьирования к выражению (9.1), заключающуюся в том, что надо взять дифференциал от функции нескольких переменных , полагая время фиксированным. Получим

. (9.2)

Подставим это выражение в формулу виртуальной работы i-ой активной силы и просуммируем затем эти работы по всем точкам системы. Будем иметь

.

Перегруппируем слагаемые в этом выражении и изменим порядок суммирования, получим

. (9.3)

Здесь

, k=1,2,…,s (9.4)

и есть обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате с номером k. Таким образом, обобщенную силу можно определить как

коэффициент, стоящий перед вариацией обобщенной координаты в выражении виртуальной работы системы.

Из выражений (9.3) и (9.4) можно получить два способа вычисления обобщенных сил. Один — прямо по определению, второй – по формуле (9.4), если заданы проекции сил и аналитические зависимости координат их точек приложения от обобщенных (9.2). В дальнейшем мы рассмотрим подробнее способы вычисления обобщенных сил. Для ближайших целей нам достаточно выражения (9.4) и данного определения. Подчеркнем, что обобщенная сила, в отличие от обычной, является скалярной величиной и называется так только потому, что выражение (9.3) по форме напоминает выражение виртуальной работы одной силы

.

Из правой части этой формулы видно, что имело бы смысл говорить об обобщенных силах как проекциях сил системы на направления вариаций обобщенных координат.

Совершенно аналогично, можно записать выражение для обобщенной силы инерции, подставив в (9.4) вместо активной силы силу инерции

, k=1,2,…,s. (9.5)

Общее уравнение механики в обобщенных координатах. На основании (9.3) запишем выражение виртуальных работ активных сил и сил инерции механической системы и приравняем его нулю согласно (9.2)

откуда, благодаря независимости вариаций обобщенных координат друг от друга, что имеет место для голономных систем, следует s уравнений

.

или в другой форме, напоминающей II закон Ньютона (7.10)

(9.6)

Эти уравнения и являются уравнениями, описывающими динамическое поведение механической системы с голономными связями. Их можно применять непосредственно для вывода уравнений движения. Основная трудность здесь состоит в получении выражений приведенных сил инерции, которые можно определить по формулам (9.5). В дальнейшем будет показано, как можно построить алгоритмы компьютерной алгебры для автоматизации построения уравнений движения достаточно широкого класса механических систем на базе уравнений (9.4)- (9.6). Однако для «ручного» вывода уравнений движения более предпочтительным оказывается применение уравнений Лагранжа II рода, которые получаются из (9.6) выражением обобщенных сил инерции (9.5) через кинетическую энергию системы.

Лекция 10.

Уравнения Лагранжа II рода.

Найдем слагаемое с номером i в правой части (9.5), используя выражения (9.1).

.

Здесь использованы два тождества Лагранжа

, .

После суммирования получим обобщенную силу инерции

.

Здесь величина , где -скорость i -ой точки, есть, очевидно, кинетическая энергия механической системы.

Окончательно получим

, k=1,2,...,s, (10.1)

где s — число степеней свободы, — кинетическая энергия, , , - обобщенная координата, обобщенная скорость и обобщенная активная сила с порядковым номером данной механической системы.

Составление уравнений движения в форме (10.1) сводится к выполнению ряда формальных действий

· выбрать обобщенные координаты — параметры любой геометрической или физической природы, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени;

· записать выражение кинетической энергии системы в виде суммы кинетических энергий точек и тел системы через инерционные параметры (массы точек и тел, моменты инерции тел) и обобщенные координаты и скорости;

· получить выражения производных кинетической энергии, входящие в левую часть (10.1);

· записать выражение виртуальных работ сил системы при варьировании каждой обобщенной координаты, коэффициенты перед вариацией соответствующей обобщенной координаты дают формулу для обобщенной силы, соответствующей этой обобщенной координате.

Для применения полученных уравнений Лагранжа II рода на практике необходимо получить рабочие формулы вычисления виртуальных работ и кинетической энергии системы, что в свою очередь, требует разобраться с инерционными характеристиками механических систем и тел.

Вычисление обобщенных сил. Существует три способа вычисления обобщенных сил.

Первый способ предполагает прямое вычисление коэффициентов при вариациях обобщенных координат в выражении виртуальной работы. Удобнее здесь варьировать не все сразу обобщенные координаты, а по одной. Записывается выражение работы на виртуальном перемещении системы, отвечающем вариации только одной обобщенной координаты, например, с номером k — , как алгебраическую сумму виртуальных работ активных сил, приложенных к телам и точкам механической системы . Затем, вынося за скобки общий сомножитель — вариацию обобщенной координаты , получим выражение для обобщенной силы

.

Для системы с несколькими степенями свободы такую операцию следует проделать столько раз, сколько обобщенных координат.

Второй способ основан на зависимостях типа (10.1), заданных в явном виде. Тогда обобщенные силы определятся выражением (10.4)

, k=1,2,…,s.

Третий способ опирается на знание потенциальной энергии системы как функции координат ее точек . Подставляя в нее выражения (8.1), получим зависимость потенциальной энергии от обобщенных координат , а виртуальная работа будет

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях, найдем

.

Пример составления уравнений Лагранжа II рода. Найти ускорение бруса, перемещающегося по каткам на наклонной плоскости, составляющей угол a=30⁰ с горизонтальной плоскостью (рис. 8.1). Масса бруса кг, массы цилиндрических катков одинаковы и составляют кг. Коэффициент трения качения каждого катка составляет м, а радиус см.

Решение. Механическая система, состоящая из бруса и двух катков, имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты перемещение бруса вдоль наклонной плоскости . Тогда ее вариацию (виртуальное перемещение бруса вдоль наклонной плоскости вниз) обозначим .

Найдем кинетическую энергию системы, учитывая, что кинетические энергии катков одинаковы.

.

Здесь — кинетическая энергия поступательно движущегося бруса:

.

 

Рис. 8.1

— кинетическая энергия катков, которую найдем по формуле для плоскопараллельного движения твердого тела

,

где — скорость центров масс катков, — угловая скорость качения катков, — момент инерции катка относительно собственного центра, где — радиус катка.

Окончательно кинетическая энергия системы будет

.

Получим выражения соответствующих производных в (10.1).

так как в выражение кинетической энергии системы координата явно не входит.

(10.2)

Составим выражение виртуальных работ активных сил системы. Здесь это будут только силы тяжести бруса и катков.

,

,

где — перемещение вдоль наклонной плоскости центров тяжести катков.

Таким образом, виртуальная работа сил системы будет иметь вид

.

Откуда найдем обобщенную силу, как коэффициент перед вариацией обобщенной координаты

. (10.3)

Подставим (10.2) и (10.3) в уравнения (10.1), получим

,

Или м/с². (10.4)

Таким образом брус будет двигаться вниз равноускоренно с ускорением 4,95 м/с².

Замечания. Обычно вызывает определенную трудность трактовка знака результата, который получается при изменении направления виртуального перемещения , показанного на рис. 8.1 пунктирной стрелкой. Часто заранее неизвестно направление движения системы. В этом случае варьировать можно «наугад», так как виртуальное перемещение не обязано привязываться к действительному движению, поэтому мы вправе направить его куда угодно. Допустим, что в предыдущей задаче мы дадим виртуальное перемещение по пунктирной стрелке. В этом случае левая часть уравнений (10.2) не меняется, а при вычислении правой части, в (10.3) появится знак «-» в работах сил тяжести и знак «+» в работе трения качения. В итоге знак «-» перейдет и в формулу результата ‑ ускорения бруса (10.4). Это, конечно, не будет свидетельствовать о том, что брус станет двигаться замедленно. На самом деле, при вычислении обобщенной силы, мы фактически записываем проекции сил системы на направление виртуального перемещения. Поэтому и результат, даваемый формулой (10.4), надо трактовать, как проекцию вектора обобщенного ускорения бруса на это направление. Таким образом, сделаем вывод, что брус будет двигаться вниз с постоянным ускорением 4,95 м/с².

При наличии сил трения их надо направлять в соответствии с направлением действительного движения. Варьирование координат не всегда можно связать с действительным движением. В этом случае, могут появиться выражения для виртуальных работ сил трения со знаком «+», как в рассмотренном примере при виртуальном перемещении бруса по пунктирной стрелке. С формальной точки зрения это не должно смущать, так как это виртуальные, а не действительные работы. Другое дело, что, часто, не решив до конца задачу, мы не знаем направления действительных перемещений точек, а, значит, направлений сил трения. В этом случае может понадобиться решить несколько задач, делая различные предположения о направлении этих сил. И остановиться надо на логически оправданном решении. Иногда удается учесть аналитически знаки проекций сил трения, связав их с алгебраическими значениями скоростей соответствующих тел и точек.