Математикалық-экономикалық моделдердің классификациясы

Дәріс №4

Экономикалық талдау мен есептеу əдістерін жетілдіруде зерттеудің математикалық тəсілдерін қолдану үлкен роль атқарады. Баға белгілеу заңдылықтары, өнім бірлігіне жұмсалатын еңбек пен материалдардың толық шығынын зерделеу, салааралық байланыстарды зерттеу, капитал салымының рентабельділігі, өндірісті орналастырудың тиімділігін анықтау, өндірістік процесті оңтайлы жоспарлау, шектеулі ресурстарды тиімді пайдалану секілді экономикалық проблемалар жəне басқа да маңыздылығы бұлардан кем емес мəселелер математикалық тəсілдерді кеңінен қолдану арқылы табысты шешіле алады. Экономикалық-математикалық зерттеу негізінде зерделеніп отырған экономикалық процесті математикалық модельдеу, яғни бұл процестің сандық заңдылықтарын математикалық формулалар көмегімен сипаттау жатыр. Математикалық модельдердің көптеген анықтамалары бар. Солардың ішінде, біздің пікірімізше, недəуір дұрыс болып табылатын біреуін берейік.

Математикалық модель – математикалық символдармен жазылған нақты құбылыс абстракциясы. Оны талдау осы құбылыстың мəнін тереңдей ашуға мүмкіндік беретіндей етіп құрастырылған.

 

Модельдеу дегенде біз модельдердің құрылуын, оларды зерделеу мен қолдануды түсінеміз. Модельдеу процесінің мəнін сызба түрінде 1-суреттен көруге болады.

Модельді құрудың бірінші сатысында үш есепті шешу

қажет:

- зерттеу мақсатын анықтау;

- негізгі шектеулерді айқындау;

- зерделеп отырған құбылыстың барлық мəдеметтерінің

сандық көрінісі.

Зерттеу мақсаты есепті шешудің əр түрлі нұсқалары салыстырылатын жəне олардың ішінен ең үздігі таңдалып алынатын белгісімен (критерийімен) сипатталады. Əр алуан экономикалық есептерде мұндай критерий ретінде барынша жоғары табыс, өндірістің барынша төмен шығындары жəне

басқалар таңдап алынуы мүмкін. Əдетте, экономикалық есептер қою барынша тиімді пайдалануды қажет ететін шектеулі ресурстардың бар екендігін

білдіреді. Сондықтан зерделеніп отырған мəселе үшін қандай ресурстардың шешуші болып табылатындығын, олардың қоры қандай екендігін анықтау өте маңызды. Ресурстар бойынша барлық шектеулер қарама-қайшы болмауы керек. Кейбір шектеулерді есепке алмау алынған шешімнің қолдануға тиімсіз

болып қалуына жəне керісінше ресурстар бойынша қатаң шектеулер қою есептің шешімі аясын тым тарылтып жіберуге əкелуі мүмкін. Бұл оңтайлы шешім табу мүмкіндігін жоққа шығарады.

Экономикалық есептерді шешудің барлығында да математикалық тəсілдер қолданыла бермейтінін атап өткен жөн. Бұл үшін қажетті шарт зерделеніп отырған мəселені сипаттайтын есептер мен тəуелдіктердің бастапқы деректерінің сандық көрінісі болып табылады.

Математикалық модельді құру сандық мəні есепті шешу нұсқаларының бірін анықтайтын айнымалылардың кейбір сандарын енгізуден басталады. Оларды х, у жəне т.б. белгілейді. Оңтайлылықтың таңдалып алынған критерийіне сəйкес

мақсатты функция құрылады. Содан соң математикалық теңдік немесе теңсіздік түрінде осы процесті сипаттайтын өзара байланыстар бейнеленеді.

Жалпы түрде экономикалық есептің математикалық моделі

мынадай түрге ие: болған жағдайда функцияның экстремумын табу талап етіледі:

Мұндай түрдегі экстремальды есептерді шешуге экономиканың əр алуан есептерін талдау əкеледі.

Модельдеу процесінің екінші сатысында модель зерттеудің дербес нысанасы ретінде көрінеді. Модельдік тəжірибелер жүргізіледі.

Үшінші сатыда модель тілінен түпнұсқа тіліне өту жүзеге асады. Нəтижесінде модельдің нысана-түпнұсқаға барабар еместігі

айқындалуы мүмкін. Бұл жағдайда модельді түзету, яғни 1 сатыға

өту жүргізіледі.

Осылайша, модельдеу – бұл циклдық процесс, жəне ол зерттеліп отырған нысананы жеткілікті дəрежеде нақты бейнелейтін модель құрылғанға дейін жалғаса береді.

Экономикалық есептердің математикалық модельдерін құру үлгілері

 

Мынадай есепті қарастырайық.

Кондитерлік фабрика карамельдің А, В, жəне С үш түрін

өндіру үшін негізгі шикізаттың үш түрін пайдаланады: қант

ұнтағы, сірне жəне жеміс езіндісі. Шикізаттың əр түрінің 1 т

карамель өндіруге жұмсалатын нормасы 1-кестеде көрсетілген.

Онда фабрика пайдаланатын шикізаттың əр түрінің жалпы

саны, сонымен бірге карамельдің осы түрін сатудан түсетін

табыс келтірілген.

Сатудан барынша жоғары табыс түсіретін карамель

өндірудің жоспарын табу керек.

 

Көрініп тұрғандай, бұл жағдайда модель құру барысында

шешілуі тиіс үш есептің үшеуі де шешілді. Дəлірек айтсақ, сатудан барынша жоғары табыс түсуін қамтамасыз ететін карамель өндіру жоспарын анықтауға құрылған есептің мақсаты айқындалды. Сонымен қатар карамельдің барлық түрлерін өндірудің негізгі ресурстары жəне олардың қоры анықталды. Үшінші есеп те шешілді, яғни карамельдің əрбір түрінің бірлігін

өндіруге жұмсалатын ресурстар нормативі жəне өнім бірлігін сатудан түсетін табыс белгіленді. Енді математикалық модельді құруға кірісе беруге болады.Модельді құру, жоғарыда айтылғандай, сандық мəні есепті

шешу нұсқаларының бірін анықтайтын айнымалылардың кейбір сандарын енгізуден басталады. Бұл жағдайда есеп карамель өндірісінің жоспарын анықтауға құрылады. Осыған орай келесі айнымалыларды енгізейік: х1 – А карамелін өндіру көлемі, х2 – В карамелін өндіру көлемі жəне х3 – С карамелін өндіру көлемі. Мақсатты функция құралық. Кондитерлік фабрика А кара-

мелінің 1 т сатудан 108 теңге көлемінде табыс алатыны бізге белгілі, ал фабрика карамельдің А түрінің х1 тоннасын өндіреді, демек, А карамелінің х1 тоннасын сатудан фабрика 108 х1 теңге көлемінде табыс алады. Сəйкесінше, В карамелінің х2 тоннасын сатудан түсетін табыс 112 х2 теңгені, ал С карамелінің х3 тоннасын сатудан түсетін табыс 126 х3 теңгені құрайды. Сонда

карамельдің барлық түрін сатудан түсетін табыстың сомасы мынаған тең болады: 108 х1+112 х2+126 х3. Демек, мақсатты функция барынша көбейтуді қажет ететін мынадай түрге ие болады:

f (х)=108 х1 + 112 х2 + 126 х3, мұндағы х= (х1, х2, х3) –

карамель өндірісінің жоспары.

Енді есептің шектелуін құрайық. А карамелінің 1 т өндіруге 0,8 т қант ұнтағы жұмсалатыны бізге белгілі, демек, А карамелінің х1 тоннасын өндіруге 0,8 х1 тонна қант ұнтағы жұмсалады. Сəйкесінше, В карамелінің х2 тоннасын өндіруге - 0,5 х2 тонна, ал С карамеліннің х3 тоннасын өндіруге 0,6 х1 тонна қант ұнтағы жұмсалады. Осылайша, карамельдің барлық түрлерін өндіруге 0,8х1 + 0,5х2 + 0,6х3 тонна қант ұнтағы жұмсалады. Бұл шығындар фабрикадағы қант ұнтағы қорынан, яғни 800 тоннадан асып кетпеуі қажет. Сонымен қант ұнтағы ресурсы бойынша бірінші шектелім мынадай түрде болады:

 

0,8х1 + 0,5х2 + 0,6х3 ≤ 800

 

Сəйкесінше, карамельдің əрбір түрінің 1 тоннасына арналған сірне мен жеміс езіндісі шығындарының берілген нормативін, сонымен бірге осы ресурстардың фабрикада бар көлемін пайдалану арқылы шикізаттардың бұл түрін пайдалану бойынша шектеулер құрылады, дəлірек айтар болсақ,

0,4х1 + 0,4х2 + 0,3х3 ≤ 600

0,1х2 + 0,1х3 ≤ 800

Бұл шектеулерге айнымалылардың теріссіздігі шартын қосу қажет х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, себебі карамель өндірісінің көлемі теріс бола алмайды. Осылайша, берілген экономикалық есептің келесі математикалық моделін алдық.

 

0,8х1 + 0,5х2 + 0,6х3 ≤ 800

0,4х1 + 0,4х2 + 0,3х3 ≤ 600

0,1х2 + 0,1х3 ≤ 800

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0

 

шектеулері жағдайында max f (х)=108 х1 + 112 х2 + 126 х3 табу

керек.

Математикалық модельді құруға арналған тағы бір есепті қарастырып көрейік.

Мал азығының рационына құрамына үш өнім кіреді: пішен, сүрленген шөп жəне ақуыз, кальций жəне витаминдер секілді қоректік заттары бар концентраттар. Сəйкес азық құрамындағы қоректік заттар (1 кг-ға г-мен) жəне олармен қоректенудің минималды қажетті нормасы төмендегі кестеде берілген:

 

Қоректік заттар

 

Азық

Ақуыз Кальций Витаминдер

1 Пішен 50 6 2

2 Сүрленген шөп 20 4 1

3Концентраттар 180 3 1

Тұтыну нормасы 2000 120 40

 

Минималды құн шарты бойынша малды азықтандырудың оңтайлы рационын анықтау керек, егер 1 кг пішеннің бағасы – 3 теңге, сүрленген шөп – 2 теңге, концентраттар 5 теңге тұратын болса.

Математикалық модельді құру үшін айнымалыларды енгіземіз:

х1 - рациондағы пішен көлемі (кг)

х2 – рациондағы сүрленген шөп көлемі (кг)

х3 – рациондағы концентраттар көлемі (кг).

Есептің мəні мынада: қоректік заттардың минималды қажетті нормасы болатын жəне барынша арзанға түсетін рационды х= (х1, х2 х3) анықтау керек.

Əуелі мақсатты функция құралық. Бізге белгілі, 1 кг пішен 3 теңге тұрады, ал оның рациондағы көлемі х1 кг болуы қажет, демек рациондағы барлық пішен құны 3 х1 теңгеге тең болады, осыған сəйкес рациондағы сүрленген пішеннің құны 2 х2 теңге, ал концентраттар құны 5 х3 теңге болады. Осылайша,

рационның жалпы құны 3х1 + 2х2 + 5х3 тең болады да, мақсатты функция мынадай түрге ие болады:

f (х)=3х1 + 2х2 + 5х3, жəне осы функцияның минимумын табу керек. Енді есептің шектеуін құрамыз. 1 кг пішенде 50 г ақуыз болатындықтан, х1 кг пішендегі ақуыз (50 · х1) г болады. Сонымен қатар 1 кг сүрленген шөпте 20 г ақуыз бар, демек х2 кг сүрленген шөпте (20 · х1) г ақуыз болады. Ақуыз концентраттарда да болады, дəлірек айтсақ, (180· х3) г. Осылайша, толық рациондағы ақуыз көлемі 50х1 + 20х2 + 180· х3 болады жəне ол тұтынудың минималды қажетті нормасынан кем болмауы қажет, яғни 2000 г-нан кем болмайды. Сонымен мынадай қатынас аламыз:

50х1 + 20х2 + 180х3 ≥ 2000

Осындай жолмен, əрбір кг пішендегі, сүрленген шөп пен концентраттағы кальций мен витаминдердің нормативін, сонымен қатар оларды тұтынудың минималды қажетті нормасын пайдалана отырып, төмендегі шектеулерді аламыз:

6х1 + 4х2 + 3х3 ≥ 120,

2х1 + х2 + х3 ≥ 40

Айнымалылардың теріс еместігі бойынша шектеулерді қоса отырып, берілген экономикалық есептің

50х1 + 20х2 + 180х3 ≥ 2000

6х1 + 4х2 + 3х3 ≥ 120

2х1 + х2+ х3 ≥ 40

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0

шектеулері жағдайындағы мынадай математикалық моделін аламыз:

minf (х)=3х1 + 2х2 + 5х3

 

Бақылау сұрақтары:

1. Математикалық модельдің сатылары?

2. Модельді құрудың сатысында қанша есепті шешу қажет?