Условное математическое ожидание

Числовые характеристики двумерных случайных величин.

Математическое ожидание ~ Дисперсия ~ Условное математическое ожидание ~ Ковариация ~ Корреляция

Математическое ожидание

Пусть (x, h) - двумерная случайная величина, тогда M (x, h)=(M (x), M (h)), т.е. математическое ожидание случайного вектора - это вектор из математических ожиданий компонент вектора.

Если (x, h) - дискретный случайный вектор с распределением

	y 1	y 2	...	y m
x 1	p 11	p 12	...	p 1 m
x 2	p 12	p 12	...	p 2 m
...	...	...	pij	...
xn	pn 1	pn 2	...	pnm

то математические ожидания компонент вычисляются по формулам:

, .

Эти формулы можно записать в сокращенном виде.

Обозначим и , тогда и .

Если p _{(x, h)}(x, y)- совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (x, h), то

и .

Поскольку -плотность распределения случайной величины x, то и, аналогично, .

Дисперсия

Понятие дисперсии обобщается на многомерные случайные величины нетривиальным образом. Это обобщение будет сделано в следующем разделе. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора.

Если (x, h) - двумерная случайная величина, то

D x = M (x - M x)² = M x ² - M (x)², D h = M (h - M h)² = M h ² - M (h)².

Входящие в эту формулу математические ожидания вычисляются по приведенным выше формулам.

Условное математическое ожидание

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость. Например, если x - случайная величина и h =x ², то h - тоже случайная величина, связанная с x функциональной зависимостью. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость. Из рассмотренных там примеров видно, что информация о значении одной случайной величины (одной компоненты случайного вектора) изменяет распределение другой случайной величины (другой компоненты случайного вектора), а это может, вообще говоря, изменить и числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание, вычисленное по условному распределению, называется условным математическим ожиданием.

Для двумерного дискретного случайного вектора (x, h) с распределением

	y 1	y 2	...	y m
x 1	p 11	p 12	...	p 1 m
x 2	p 12	p 12	...	p 2 m
...	...	...	pij	...
xn	pn 1	pn 2	...	pnm

условное математическое ожидание случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение y_j, вычисляется по формуле .

Аналогично, условное математическое ожидание случайной величины h при условии, что случайная величина x принимает значение x_i, равно .

Видно, что условное математическое ожидание случайной величины x является функцией значений случайной величины h, т.е. M (x /h = y) = f ₁(y) и, совершенно аналогично, M (h /x = x) = f ₂(x).

Функцию f ₁(y) называют регрессией случайной величины x на случайную величину h, а f ₂(x) - регрессией случайной величины h на случайную величину x.

Если p _(x,h) (x, y) совместная плотность вероятностей двумерной случайной величины (x,h), то

и .

Ковариация

Если между случайными величинами x и h существует стохастическая связь, то одним из параметров, характеризующих меру этой связи является ковариация cov(x, h). Ковариацию вычисляют по формулам cov(x, h)= M [(x - M x)(h - M h)] = M (x h) - M x M h.

Если случайные величины x и h независимы, то cov(x,h)=0. Обратное, вообще говоря, неверно. Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация нулевая! Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Свойства ковариации:

cov(x, x) = D x;

;

;

,

где C ₁ и C ₂ - произвольные константы.

Ковариационной матрицей случайного вектора (x,h) называется матрица вида

.

Эта матрица симметрична и положительно определена. Ее определитель называется обобщенной дисперсией и может служить мерой рассеяния системы случайных величин (x,h).

Как уже отмечалось ранее, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: . Если же случайные величины зависимы, то .

Корреляция

Понятно, что значение ковариации зависит не только от “тесноты” связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих значений. Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется безразмерный коэффициент корреляции .

Этот коэффициент обладает следующими свойствами:

он безразмерен;

его модуль не превосходит единицы, т.е. ;

если x и h независимы, то k _(x,h)=0 (обратное неверно!);

если , то случайные величины x и h связаны функциональной зависимостью вида

h = ax + b,

где a и b- некоторые числовые коэффициенты;

;

Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица

.

Если и , то ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора (x,h) связаны соотношением , где .

 

Распределение двумерной случайной величины

Первый способ

Математическое ожидание x	Математическое ожидание h

 

Второй способ

Математическое ожидание x	Математическое ожидание h

Распределение двумерной случайной величины

Математическое ожидание x	Математическое ожидание h
Математическое ожидание	Математическое ожидание
Дисперсия	Дисперсия

Распределение двумерной случайной величины

Распределение случайной величины x

Математическое ожидание x

Условные математические ожидания x

Точечный график регрессии Mxh=f(y)

Ра спределение случайной величины h

Математическое ожидание h

Условные математические ожидания h

Точечный график регрессии Mxh=f(y)