1) .
R , (, )ÎR ÎA.
: "³", "£" R.
2) .
R , (, )ÏR ÎA.
: "<", ">" R.
R , xÏGR(x) ÏHR(x) ÎA.
3) .
R , x, yÎA , (x, y)ÎR (y, x)ÎR .
: "=" "¹".
R , ÎA
) GR(x) = HR(x); ) R = R1.
4) .
R , x y A (x, y)ÎR (y, x)ÎR , x = y.
"³" : x ³ y y ³ x, x=y.
5) .
R , R Ç R-1= Æ, .. R .
: (x, y)ÎR (y, x)ÎR .
: ">", "<", " ".
R , xRy y x.
R Rs = R ÇR-1 Ra = R \ Rs. R , R= Rs, R , R = Ra.
. R "³", R1 "<", Rs "=", Ra ">".
6) .
R , x x, y, zÎA , (x, y)ÎR (y, z)ÎR (x, z)ÎR.
:
) RoR Í R;
) ÎA yÎGR(x) , GR(y) Í GR(x).
"¹". x = 2, y = 3, z = 2, x ¹ y y ¹ z, x = z, .. (x, z)ÏR.
R1 R2, :
) (x, y)Î R1 (y, x)Î R2 , (x, z)Î R1;
) (x, y)Î R2 (y, x)Î R1 , (x, z)Î R1.
7) .
R , `R .
.
R1 ">" R2 " ¹" , `R1 "£",`R2 "=" . . , R1 , R2 , , .
8) .
R , x, yÎ (x, y)ÎR, (y, x)ÎR, .
|
|
:
) GR(x) È HR(x) = ÎA;
) .
9) .
R , ¹ y (x, y)ÎR, (y, x)ÎR.
. , "" . R " " , - , - , (x, x)ÏR.
10) .
R , Rn ÇR1= Æ nÎ N. , 1Rx2, x2Rx3,..., xn-1Rxn , x1¹n, R .
1. , R1, R2 , R1ÈR2 Í R1oR2 .
. (x, y)ÎR1ÈR2, (x, y)ÎR1 (x, y)ÎR2. R2 (y, y)ÎR2 , ,(x, y)ÎR1 o R2. (x, x)ÎR1 (x, y)ÎR1 o R2, .
2. , R , Rd .
. R , .. (x, y)ÏR (y, z)ÏR, (x, z)ÏR. u, v, w (u, v)ÎRd (v, w)ÎRd. , , (v, u)ÏR (w, v)ÏR. R , (w, u)ÏR, (u, w)ÎRd. , Rd .
.
3. , R È (`R Ç Rd) = R È (`R)s .
. , .
RÈ(`R Ç Rd ) = R È (`R Ç ) = R È (`RÇ(`R)-1) = R È (`R)s.
, R È (`R)s . x, yÎA : 1) (x, y)ÎR; 2) (y, x)ÎR; 3) (x, y)ÏR (y, x)ÏR. (x,y) . . (x,y)Î`R (x,y)Î -1, (x,y)Î(`R)s. , .
4. , R1 R2 , R1 o R2 = R2 o R1.
. 1) R1, R2 R1 o R2 - . , R1 o R2 = R2 o R1.
(x, y)ÎR1 o R2, R1 o R2 , (y,x)ÎR1 o R2. , zÎA, (y, z)ÎR1 (z, x)ÎR2. R1 R2 , (x, z)ÎR2 (z, y)ÎR1. , (x, y)ÎR2 o R1. .
2) R1 o R2 = R2 o R1, , R1 o R2 .
x A. R1, R2 , (x, x)ÎR1 (x, x)ÎR2, , (x,x)ÎR1oR2, .. R1 o R2 .
. (x, y)ÎR1oR2, R1 o R2 = R2 o R1 (x, y)ÎR2 o R1, .. zÎA, (x, z)ÎR2, (z, y)ÎR1. R1 R2 , (y, z)ÎR1 (z, x)ÎR2. , (y, x)ÎR1 o R2.
|
|
, (R1 o R2) o (R1 o R2) Í R1 o R2. ,
(R1 o R2) o (R1 o R2) = R1 o (R2 o R1) o R2 = R1 o (R1 o R2) o R2 =
= (R1 o R1) o (R2 o R2) Í R1 o R2.
5. j: A´AA :
) j(x, y) = j(y, x);
) j(x, j(y, z)) = j(j(x, y), z);
) j(x, x) = x.
, R={ (x, y) | j(x, y) = x } .
. . j(x, x) = x, (x, x)ÎR .
(x, y)ÎR (y, x)ÎR, .. j(x,y)=x j(y, x) = y. x = y, j(x, y) = j(y, x) j. , .
. (x, y)ÎR (y, z)ÎR, .. j(x, y) = x j(y, z) = y.
j(x, z) = j(j(x, y), z) = j(x, j(y, z)) = j(x, y) = x.
, (x,z)ÎR, .
1. , R , R1 .
2. , R R1.
3. , R R1.
4. , R R 1.
5. , R , Rd .
6. R , R = R-1.
7. , R1 R2 , R1 È R2 , R1 Ç R2, R11.
8. , R1 R2 , R1 È R2, R1 Ç R2, R11. , R1 o R2 .
9. , R1 R2 , R1 È R2, R1 Ç R2, R11, R1 o R11.
10. , R1 R2 , R1 Ç R2 R11.
11. R1, R2 . , R1 o R2 , R1 o R2 = R2 o R1.
12. R1 R2 . R1È R2 , R1Ç R2-1 ÍD.
13. , R , R Ç R1 R1.
14. , R1ÈR2 R1 R2 , R1ÇR2-1= = Æ.
15. , , .
16. R1, R2 R1 R2. , R1 È R2 .
17. R, R1 =`R?
18. , R , R = (Rd)a.
19. , R ,
Ra= Rd.
20. , R1, R2 , .
21. , R È (`R Ç Rd) = R È (`R)s .
22. , R , `R Ì R1 R1 ==`R È (R Ç R1).
23. , R , R1 Ì`R `R = R1È(`RÇ Rd).
24. , R1 R2 .
|
|
25. , xPy Þ " zÎ, xPz zPy.
26. , R , Rd , R , Rd .
27. , .
28. , .
29. , R , Rd .
30. R , x y, (x, y)ÎR. , .
31. , .
32. , , .
33. , .
34. , , , .
35. , R .
36. , R , .
37. , R , Rd `R .
38. :
) , , ;
) , , ;
) , , ;
) , , ;
) , , .
39. : ) I È P È P1 = A´A;
) I = Rs; P = Ra.
40. 1), 2), 3), 6) .
41. :
) R ;
) ,
(.. xRy, ³ 1) ;
) R , , , R ¹ R ;
) I , , ;
) I = Rs Rd = .
42. :
) ;
) ;
) ;
) Rn (n > 1);
) ;
) .
43. , R dR È rR = A, R .
44. , R1 R2 , R1 o R2 = R2 o R1.
, R (4549).
45. R = { (a, b) | a, bÎ N ´ N, a1 + b2 = b1 + a2}.
46. R = { (a, b) | a, bÎ N, a b m }.
47. R = { (a, b) | a, bÎ N ´ N, a1b2 = a2b1 , a2b2 ¹ 0,
a1= b1, a2b2 = 0 }.
48. R = { (a, b) | a, bÎ R, a bÎ Q }.
49. R={ (x, y) | x, yÎ R, f(x) = f(y) }, f .
50. , . -.
) R = { (x, y) | x, yÎ R 3, x12 +x22 +x32 = y12 +y22 +y32 };
) R = { (x, y) | x, yÎ R 2, x1 = y1 };
) R = { (x, y) | x, yÎ R 2 , x2 = y2 };
) R = { (x, y) | x, yÎ R, x [x] = y [y] }.
51. , R , (R o R1) È D = R.
51. , R , .
52. R1 R2 . ,
|
|
) R1 o R1 = A2 Û R1 = A2;
) R1 o R2 = A2 Û R2 o R1 = A2.
53. , R1 È R2 R1 R2 , R1 È R2 = R1 o R2.
54. , R A , `R = D.
55. , :
) A Ì B S;
) x(t) £ y(t) t C[a,b];
) m n N.
56. j: A´AA :
) j(x, y) = j(y, x);
) j(x, j(y, z)) = j(j(x, y), z);
) j(x, x) = x.
, R={ (x, y) | j(x, y) = x } .
57. f1 f2 [0,1]. , f1Rf2, .
, R .
58. X, Y . X´Y : (x1, y1) ³ (x2, y2), x1 ³ x2, y1 ³ y2. , .
59. , R , R-1 .
60. , R A , R = (R o R) È D.
.
, x E, . () A E, , A = {mA() / }, mA() , - 1, x , 0 - .
, x E - . , A E A = {mA() /}, mA() ( ), M (, M = [ 0,1 ]). ( ) x A. M . M = { 0,1 }, A .