Геометрия эвольвентного зацепления.

Рассмотрим общий случай зацепления колес, каждое из которых нарезано с положительным смещением исходного контура. При этом толщина зуба по делительной окружности больше ширины впадины (8.5), (8.6). Поэтому в зацеплении таких колес делительные окружности не соприкасаются (рис.9.1). Радиусы этих окружностей r₁ и r₂. Начальные окружности радиусов r_w1 и r_w2 соприкасаются в полюсе Р. Основные окружности, с которыми связаны эвольвентные профили зубьев, имеют радиусы r_b1 и r_b2. Общая касательная к ним N₁N₂ проходит через полюс Р. Эта линия является общей нормалью к профилям зубьев, соприкасающимся в точке К, и называется линией зацепления. Угол между линией зацепления и общей касательной к начальным окружностям называется углом зацепления.

Соединим точки N₁ и N₂ c центрами колес О₁ и О₂. Полученные углы N₁O₁P и N₂O₂P равны углу зацепления , исходя из перпендикулярности их сторон. Из рассмотрения прямоугольных треугольников O₁N₁P и O₂N₂P следует

r_w1 = , r_w2 = (9.1)

C учетом зависимостей (8.3) и (8.4) формулы (9.1) можно записать в виде r_w1 = r₁ = . , r_w2 = r₂ = . . (9.2)

Рис.9.1

Из рис.9.1 следует, что межосевое расстояние

a_w = r_w1+r_w2, (9.3)

или с учетом (9.2) а_w = a . (9.4)

Здесь делительное межосевое расстояние

a = r₁+r₂ = , (9.5)

где .

Учитывая, что передаточное отношение i₁₂ = = ,

а также используя (9.3), радиусы начальных окружностей можно определить по формулам

r_w1 = = a_w, r_w2 = = a_w. (9.6)

Угол зацепления.

Поскольку начальные окружности при вращении колес перекатываются друг по другу без скольжения, толщина зуба на начальной окружности одного колеса s_w1 равна ширине впадины на начальной окружности другого колеса e_w2. Ширину впадины можно определить как разность шага и толщины зуба, а шаг по начальной окружности как отношение длины этой окружности к числу зубьев. Тогда высказанное ранее условие можно записать

s_w1 = - s_w2. (9.7)

Толщину зуба на начальной окружности можно определить по формуле, аналогичной (8.10) для расчета толщины зуба на окружности вершин s_a, если в ней индексы «а» заменить на «w»

s_w1 = r_w1[ -2(inv ], s_w2 = r_w2[ - 2(inva_w - inva)]. (9.8)

Подставив выражения (9.8) в уравнение (9.7), используя при этом формулы для расчета толщины зуба на делительной окружности (8.5) и радиуса делительной окружности (8.3), а также формулы (8.6), после преобразований получим

inv tg (9.9)

где коэффициент суммы смещений

x = x₁+x₂. (9.10)

Как следует из формулы (9.9), если x = 0, то r_w1 = r₁, r_w2 = r₂, a_w = a. Если же х >0, то , а_w>a.

Необходимо отметить, что условие х =0 соответствует двум вариантам зацепления: х₁ = х₂ = 0 (нулевое зацепление) и х₂ = - х₁ (равносмещённое зацепление), отличающимся размерами высоты головок и ножек зубьев.

Радиусы окружностей вершин. Условием для их определения является равенство стандартной величине радиального зазора с = с^*m расстояния между

окружностью вершин одного колеса и окружностью впадин другого (рис.9.2). Из этого рисунка следует, что

r_a1 = a_w - r_{f 2} - c^*m, (9.11)

r_a2 = a_w - r_f1 - c^*m. (9.12)

Рис.9.2

 

Коэффициент перекрытия.

Линия зацепления N₁N₂ (рис.9.3) является геометрическим местом точек контакта профилей зубьев колес. Точки пересечения линии зацепления с окружностями вершин ограничивают отрезок g A₂, называемый активной линией зацепления, в пределах которого реально существуют точки касания профилей зубьев. При вращении колес в направлении, показанном на рис.9.3, зубья колес входят в зацепление в точке А₂ и выходят из зацепления в точке А₁. Для обеспечения непрерывности зацепления колес необходимо, чтобы в момент, когда очередная пара зубьев входит в зацепление, соседняя предыдущая пара не должна дойти до выхода из зацепления и контактирует в точке К.

Расстояние А₂К является шагом по линии зацепления р , который равен шагу по основной окружности р_в и связан с шагом по делительной окружности р так же, как связаны между собой радиусы этих окружностей

р = рcos (9.13)

Количество пар зубьев, находящихся одновременно в зацеплении в среднем за цикл, определяется коэффициентом перекрытия

. (9.14)

Рис.9.3

Как следует из сказанного, для обеспечения непрерывности зацепления необходимо, чтобы Чем больше коэффициент перекрытия, тем более плавно происходит пересопряжение зубьев.

Из рассмотрения прямоугольных треугольников O₁A₁N₁, O₁PN₁, O₂A₂N₂, O₂PN₂ следует

g A₂ = A₁P + PA₂ = (A₁N₁-PN₁) + (A₂N₂-PN₂) =

= r (tg - tg - tg ). (9.15)

Подставив (9.15) и (9.13) в (9.14), с учетом формул (8.3) и (8.4), получим

[z₁(tg - tg )]. (9.16)

Углы профиля на окружностях вершин и определяются

по формуле (8.11).

Из анализа зависимости (9.16) следует, что коэффициент перекрытия возрастает с увеличением числа зубьев колес и убывает с увеличением угла зацепления. Для этого целесообразнее использовать более мелкий модуль.