Основные правила дифференцирования.

Пусть - некоторая постоянная, , - функции, имеющие производные.

Справедливы следующие правила дифференцирования:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ;

5.;.

6. Производная сложной функции.

Если функции и имеют конечные производные, то

7. Дифференцирование функции, заданной параметрически..

Пусть зависимость между и функцией задана параметрически в виде двух уравнений

где -вспомогательная переменная, называемая параметром.

Производная функции, заданной параметрически определяется по правилу

Или.

8. Производная обратной функции.

Пусть функция в некоторой окрестности точки возрастает (или убывает) и является непрерывной. Пусть кроме того, функция дифференцируема, в точке и производная отлична от нуля. Тогда обратная функция определена в некоторой окрестности соответствующей точки , дифференцируема в этой точке и имеет в этой точке производную, равную .

9. Производная функции , , где и суть функции от , имеющие в данной точке производные и есть:

Пример 1. Исходя из определения производной, найти производную функции .

Решение. Зададим приращение , такое, что .

Тогда

;

Поэтому

;

Переходим к пределу при :

;

т.е. .

Пример 2. Исходя из определения производной функции, найти производную функции .

Решение. Находим

Откуда

и, следовательно

Итак, .

. Формулы дифференцирования основных элементарных функций:

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5. ; 15. ;

6. ; 16. ;

7. ; 17. ;

8. ; 18. ;

9.; 19..

10. ;

Пример 3. Найти производную функции .

Решение.

Пример 4. Найти производную .

Решение. Берем производную от как сложной функции

, где , .

, где ,

;

Итак,

Пример 5. Найти производную функции

Решение. Имеем , откуда

Пример 6. Найти , если , .

Решение. Имеем

Пример 7. Найти производную .

Решение. Показательная функция , определена на бесконечной прямой и служит обратной для логарифмической функции .

Согласно вышеуказанному утверждению, функция дифференцируема в любой точке и для ее производной справедлива формула .

Итак, .

Пример 8. Вычислить производную .

Решение. Функция , определенная на интервале , служит обратной для функции , определенной на интервале . Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, получим: