Рациональные алгебраические дроби

Комплексные числа

1.1 Множество C комплексных чисел

Введем традиционные обозначения: R – множество вещественных чисел, R - совокупность всевозможных упорядоченных пар вещественных чисел. Произ- вольный элемент множества R обозначим через z: , где R, R.

Два элемента и множества считаем равными, если и : .

Введем две операции, одну их которых назовем сложением элементов из R , а другую – умножением этих элементов. Каждая из них представляет собой правило, в силу которого любой упорядоченной паре элементов из R ставится в соот- ветствие некоторый третий элемент этого множества.

Элемент, который паре сопоставляет операция сложения, назовем суммой элементов и и обозначим через .

Элемент, который паре сопоставляет операция умножения, назовем произведением элементов и и обозначим через или .

Сумму и произведение элементов и определим с помощью следующих равенств:

(1)

Множество всевозможных упорядоченных пар вещественных чисел R , на котором указанным выше способом введены операции сложения и умножения называ- ют множеством комплексных чисел и традиционно обозначают буквой C. Элементы множества C называют комплексными числами.

Нетрудно убедиться, что введенные равенствами (1) операции обладают свойс- твами, аналогичными свойствам сложения и умножения вещественных чисел:

1. (Коммутативность) ; .

2. (Ассоциативность) ; .

3. (Дистрибутивность) .

Наименования операций над комплексными числами – сложение и умножение - обьясняются этими аналогиями.

Таким образом, комплексное число C, представляет собой упорядоченную пару вещественных чисел: . Первое число x пары называют вещест- венной частью комплексного числа z и обозначают через , второе число y этой пары называют мнимой частью комплексного числа z и обозначают через .

Пусть мнимые части чисел и равны нулю: , . Тогда из (1) получим:

; .

Заметим, что сложение и умножение комплексных чисел и , мнимые части которых равны нулю, сводятся соответственно к сложению и умножению их вещественных частей. Это обстоятельство позволяет отождествить комплексное число вида с вещественным числом x, т.е., считать, что = x. Особо отметим равенство ,а также справедливость следующего утверждения: пусть ; равенство имеет место тогда и только тогда, когда х= и у= .

Комплексное число , мнимая часть y которого отлична от нуля, назы- вают мнимым. Следовательно, всякое комплексное число является либо вещественным, либо мнимым.

Остановимся на геометрических ин- терпретациях множества C. Как известно, геометрической интерпретацией множества R является плоскость с введенной на ней декартовой прямоугольной системой коор- динат: упорядоченная пара изобража- ется точкой плоскости с абсциссой x и орди- натой y. Эту же точку плоскости считают изображением комплексного числа . Когда точки плоскости рассматривают как изображения комплексных чисел, саму плоскость считают интерпретацией множества С и называют комплексной плоскостью. Изображениями комплексных чисел вида , т.е., вещественных чисел, будут точки оси абсцисс; поэтому ее называют веще- ственной осью комплексной плоскости. Мнимые числа вида , , изобража- ются точками оси ординат; эту ось называют мнимой осью комплексной плоскости (рис. 1).

Другая возможная геометрическая интерпретация комплексного числа состоит в том, что его изображают вектором, проекции которого на вещественную и мнимую оси есть x и y соответственно. В частности, в качестве изображения числа может выступать радиус-вектор точки с абсциссой x и ординатой y (рис. 1). Такой взгляд на комплексное число удобен в ряде случаев, например, при геометриче- ской интерпретации действий сложения и вычитания комплексных чисел (см. ниже).

 

1.2. Алгебраическая форма комплексного числа.

Среди комплексных чисел особая роль принадлежит мнимому числу . Его называют мнимой единицей и обозначают обычно буквой i: i = . Это название связано с равенством . Действительно, вычислив произведение в соответ- ствии со вторым из равенств (1) получим:

.

Пусть – некоторое комплексное число. Используя (1), нетрудно убе- диться в справедливости равенства . Но , , ; поэтому равенство можно переписать так: . Правую часть последнего равенства называют алгебраической формой комплексного числа .

Пусть заданы комплексные числа и . Из равенств (1) вытекают правила сложения и умножения комплексных чисел, записанных в алгеб- раической форме: если , , то

; . (2)

Отметим три свойства этих действий. Они дополняют свойства 1 – 3, указанные в п. 1.1 и тоже вполне аналогичны соответствующим свойствам действий над вещест- венными числами.

4. , .

Запишем числа и z в алгебраической форме: , . Из (1) получим: . Доказательство второго равен- ства аналогично.

5. Пусть и – некоторые комплексные числа. Для того, чтобы произве- дение было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из мно- жителей и был равен нулю:

.

Необходимость. Пусть . Покажем, что если один из множителей отличен нуля, то другой должен равняться нулю. Пусть, например, ; покажем, что тогда . Действительно, запишем эти числа в алгебраической форме: , . Из (1) имеем: и . Отсюда сле- дует, что числа и удовлетворяют однородной системе

где , . Определитель D этой системы отличен от нуля: так как , то . Значит, система имеет только нулевое решение: ; поэтому .

Следовательно, из вытекает, что либо , либо .

Достаточность очевидна в силу свойства 4.

6. Пусть и – комплексные числа. Тогда

.

Пусть , . Тогда

Û .

Отсюда:

.

Пусть z Î C. Число (–1) z обозначают через – z и называют числом, проти- воположным z. Из свойства 6 следует: сумма числа z и числа противоположного z равна нулю: " z Î C z + (– z) = 0.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: пусть и – заданные числа; разностью чисел и называют число z такое, что ; разность чисел и обозначают через .

Запишем , и z в алгебраической форме: , , . Имеем:

. Отсюда:

, так что к правилам сложения и умножения (2) можно добавить правило вычитания:

. (3)

Заметим, что равенства (2) и (3) можно получить складывая, перемножая и вычитая двучлены и по правилам алгебры, известным из школьных учебников; при перемножении этих двучленов используется равенство . Следовательно, складывая, вычитая, умножая, возводя в натуральную степень комп- лексные числа, записанные в алгебраической форме, можно руководствоваться правилами алгебры, изложенными в школьных учебниках, учитывая при этом значения степеней числа i: , , , , и т. д. В частности, можно применять формулы сокращенного умножения.

Пример 1. Найдём алгебраическую форму числа .

Число запишем в виде двучлена и воспользуемся формулой . Получим:

.

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: пусть и – комплексные числа, причем ; частным чисел и называют число z такое, что ; обозначают это число символами и . Запишем числа , и z в алгебраической форме: , , ; тогда из следует: , . Эти два равенства рассмотрим как систему двух линейных относительно x и y уравнений. Определитель D этой системы равен ; так как , то и ; поэтому система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

..Таким образом,

. (4) Выполняя деление на , обычно прибегают к следующему приему: числитель и знаменатель дроби умножают на двучлен (число называют сопряженным числу , см. ниже 1.7):

.

Пример 2. Вычислить .

Имеем:

.

В заключение этого пункта оста- новимся на геометрической интерпрета- ции суммы и разности . Будем изображать комплексные числа векторами, лежащими на комплексной плоскости. Число изобразит- ся радиусом-вектором точки , число – радиусом-вектором точки . Число изобразится вектором, проекции которого на оси равны и . Из векторной алгебры известно, что такой вектор является суммой векторов и , т.е. диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2). Разность представлена на этом рисунке разностью радиусов-векторов точек и , т.е. второй диагональю параллелограмма.

 

1.3. Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа называют вещественное число . Модуль числа z обозначаем через ; таким образом, , где , . Если z является вещественным числом, т.е., если , его модуль совпадает с абсолютной величиной числа x: .

Геометрический смысл модуля числа очевиден: есть расстояние от начала координат до точки , изображающей число z, или длина вектора, проекции которого на оси есть x и y.

Замечание 1. Разность изображается вектором, начало которого есть точка комплексной плоскости, а концом является (рис.2); значит, модуль разно- сти, число | |, есть длина этого вектора, т.е. расстояние между точками комплекс- ной плоскости и .

Отметим рядсвойств модуля. Они аналогичны свойствам абсолютной величины вещественного числа.

1. Для всякого z Î C его модуль есть неотрицательное число, причем тогда и только тогда, когда .

2. Для всякого z Î C , .

Справедливость этих утверждений очевидна.

3. Для любых и ; если , то .

Запишем числа и в алгебраической форме: , ; тогда (см. (2)):

;

.

Пусть , и пусть ; тогда . По доказанному выше, ; отсюда, поскольку здесь все числа вещественные, .

4. Для любых комплексных и справедливы неравенства

.

Докажем сначала неравенство .

Справедливость его очевидна в случае . Пусть . Обо- значим: . Отсюда ; таким образом, сумма является вещественным и притом положительным числом, в силу чего сумма равна сумме вещественных частей слагаемых и :

, где , . Так как , можем записать: ; эдесь зак- лючительное неравенство вытекает из свойств абсолютной величины вещественных чисел. Из свойств 2 и 3 модуля следует:

; . Таким образом, , и так как (см. свойство 3) , то окончательно получим:

.

Докажем неравенство .

Это неравенство очевидно, если . Пусть ; тогда

. По доказанному выше . Значит,

. Случай рассматривается аналогично.

Замечание 2. Неравенство назывют неравенством треуголь- ника, поскольку на него можно смотреть как на неравенство, связывающее длины сторон треугольника, вершинами которого являются точки , и (рис. 2).

Упражнение. Используя метод математической индукции, доказать обобщение неравенства треугольника: пусть , , ¼, – заданные комплексные числа; тогда

.

 

1.4. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая

форма комплексного числа

Аргументом комплексного числа z, , называют вещественное число j такое, что

, (5) где

Если некоторое число j удовлетво- ряет равенствам (5), то им удовлетворит и любое число вида j + 2 k p, k Î Z, причем множество {j + 2 k p}, где k принимает всевозможные целые значения, есть сово- купность всех чисел, удовлетворяющих (5). Таким образом, аргумент числа z имеет бесконечное множество значений, которые отличаются одно от другого слагаемым, кратным 2p. В дальнейшем через мы обозначаем какое-либо одно из значений аргумента числа z. Равенство означает, что число j есть одно из значений аргумента числа z. Неравенства означают, что в данном случае есть то единственное значение аргумента z, которое лежит на промежутке ; иногда такое число называют главным значением аргумента z.

Геометрически число j, удовлетворяющее условиям (1), есть угол между поло- жительным направлением вещественной оси и вектором z. Если j , угол отсчиты- вается от вещественной оси против часовой стрелки, если же j < 0 – угол отсчитыва- ется по часовой стрелке (рис.3).

Пусть – отличное от нуля комплексное число, , . Учитывая равенства (5), можем записать:

. Здесь , ( - одно из значений аргумента z, любое).

Выражение называют тригонометрической формой числа z.

Пример 3. Найдём тригонометрическую форму числа .

Имеем: ; .

Последнее выражение уже является тригонометрической формой z. Найдём . Равенства (5) в рассматриваемом случае выглядят так:

, . Отсюда: , k Î Z. Взяв в качестве , например, число , получим представ- ление числа z в тригонометрической форме, в котором явно фигурирует и модуль, и аргумеит z: .

 

1.5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных

в тригонометрической форме

Пусть отличные от нуля комплексные числа и записаны в тригонометри- ческой форме:

. (6)

Найдем тригонометрическую форму произведения . Заметим, что ; кроме того,

.

Отсюда:

, (7) причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа .

Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргумен- ты складываются (точнее: сложив аргументы сомножителей, мы получим одно из зна- чений ). Геометрически умножение числа на число сводится к пово- роту вектора на угол и к изменению длины этого вектора в раз.

Используя (7), с помощью метода математической индукции нетрудно устано- вить справедливость следующего утверждения: пусть , , ¼, , где n ³ 2, – заданные отличные от нуля числа, , , k = 1, 2, ¼, n; тогда

, (8) где , , , т.е. при перемножении n, n ³2, комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Упражнение. Доказать равенство (8).

Найдем частное , где и заданы равенствами (6). Заметим (см. п.1.3), что . Кроме того,

.

Значит,

, (9) причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа . Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делят- ся, а аргументы вычитаются (точнее: вычитая из аргумента числителя аргу- мент знаменателя, мы получим одно из значений аргумента частного).

Пример 4. Пусть , , . Найти и .

Запишем заданные числа в тригонометрической форме:

; ; .

Таким образом, , ; ; ; . Теперь получим:

;

.

 

1.6. Возведение в целую степень и извлечение корня

Пусть , , где r = | z |, , и пусть n – натуральное число. Степень представляет собой произведение n множителей: ; поэтому можно вычислить по формуле (8); в рассматриваемом случае , y = = nj; поэтому

. (10)

Определим целые неположительные степени комплексного числа z, z ¹ 0. По определению положим ; и для всякого n, n Î N, по определению положим . Заметим: если r = | z |, , а n Î N, то

.

Таким образом, равенство (10) справедливо при любых целых n. Это равенство называют формулой Муавра; его правая часть представляет собой тригонометрическую форму числа , n Î Z. Заметим, что равен . Если , то n j есть одно из значений .

Пусть заданы комплексное число a и натуральное число n, n ³ 2, и пусть комплексное число z удовлетворяет равенству . Тогда z называют корнем степени n из числа a.

Если a = 0, то и z = 0 (см. 1.2, свойство 5). Пусть a ¹ 0. Найдем модуль и аргумент числа z. Обозначим: , . Из следует , а из фор- мулы Муавра вытекает ; значит, и (это “арифметический ” корень: ). Пусть , j = arg z. Тогда {y + 2 k p}, где k Î Z, есть мно- жество всех значений аргумента a; поэтому число n j, будучи одним из значений , должно совпадать с одним из чисел указанного множества. Значит, найдется , , такое, что ; тогда

. (11)

Пусть k – любое целое число. Обозначим:

Рис. 4.

(12) По формуле Муавра получим: " k Î Z , так что каждое из чисел (12) является корнем степени n из a. С другой стороны, из (11) следует,что всякое число, явля- ющееся корнем степени n из a, содержится среди чисел , k Î Z., Значит, множест- во , k Î Z, есть множество всех значений корня степени n из a. Отметим, что в этом мно- жестве имеется всего n попарно различных чисел: , , ¼, , очевидно, попарно различны, а всякое число , где k £ –1 или k ³ n, совпа- дает с одним из чисел , , ¼, . Таким образом, для вся- кого a Î C, a ¹ 0, имеется ровно n попарно различных значений корня степени n; эти значения можно найти, придавая в формуле (12) ин- дексу k значения 0, 1, 2, ¼, n – 1. Точки комплексной плоскости, изображающие чис- ла , , ¼, лежат на окружности радиуса с центром в a = 0 и делят её на n равных дуг (рис.4).

Иногда употребляют символ для обозначения корня n -й степени из числа a; при a ¹ 0 этот символ имеет n различных значений.

Пример 5. Положим a = 1 и вычислим корни степени n, где n –нату- ральное число, n ³ 2. Для a = 1 имеем: r = | a | = 1; ; значит,

, где k достаточно придавать значения 0, 1, ¼, n – 1. Положив здесь n = 2 и k = 0, 1, найдем два значения корня квадратного из единицы:

; .

Положив n = 3 и k = 0, 1, 2, найдем три значения корня кубического из единицы:

, ; .

Эти три точки делят единичную окружность на три равные дуги.

 

1 .7. Сопряженные комплексные числа

Пусть , , . Обозначим через комплексное число такое, что , . Таким образом, если , то , что обычно записывают в виде разности: .

Каждое из чисел пары z и называют числом, сопряженным с другим числом этой пары. На комплексной плоскости точки, изображающие числа z и , располагают- ся симметрично относительно вещественной оси.

Справедливы следующие утверждения.

1. .

2 .

3. .

4. Пусть ; если , то число – j является одним из значений аргумента .

5. .

6. .

7. Пусть , где и – комплексные числа; тогда .

Упражнение. Доказать перечисленные утверждения.

 

1.8. Сходящиеся последовательности комплексных чисел

Здесь мы рассматриваем бесконечные последовательности комплексных чисел. Нашей целью является распространение основных понятий и теорем теории последова- тельностей вещественных чисел на более общий случай последовательностей комп- лексных чисел. Последовательность , , ¼, ,.. обозначаем через , иногда через .

Сформулированное ниже определение вполне аналогично определению предела последовательности вещественных чисел (гл. 1, п. 3.2).

Пусть заданы последовательность , , и комплексное число .

Определение 1. Число называют пределом последовательности , если для любого положительного числа e существует натуральное число такое, что все члены последовательности , номера k которых превышает , удовлетворяют нера- венству .

Если является пределом последовательности , будем записывать: или ; саму последовательность при этом будем называть схо- дящейся последовательностью. Будем также говорить, что последовательность сходится или стремится к . Таким образом, , если

Рис. 5.

. (13)

Замечание 1. Обозначим: . Тогда .

Заменив в (13) на , получим:

, а это значит, что последовательность вещест- венных чисел является бесконечно ма- лой. Следовательно, утверждения и эквивалентны.◄

Пусть e – некоторое положительное число, а a – некоторое комплексное число. Множество комплексных чисел z, таких, что , назовем e- окрест ностью точки a и обозначим через : . . Геометрически неравенство означает, что расстояние между точками z и a комплексной плоскости меньше e; значит,