Декартово произведение множеств, бинарные отношения

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

· Рассматриваются основные понятия, необходимые для формулировок важных для приложений результатов. Важны для возможности самостоятельно изучать математическую литературу.

· Изучаются понятия множества, декартова произведения, действительного числа. Изучаются первичные понятия теории метрических пространств

МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Понятие множества

Понятия множества и его элемента относятся к числу первичных, неопределяемых понятий математики. К таким же понятиям относятся точки, прямая линия и др. Создатель теории множеств Георг Кантор в 1872 году описал понятие множества, как «объединения в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью».

Мы будем говорить, что определено некоторое множество объектов, если указан признак, который позволяет относительно каждого предмета сказать, принадлежит ли этот предмет множеству , или нет.

Элементы множеств в дальнейшем будем записывать строчными латинскими буквами, сами множества – прописными. Обозначение используется, как краткая запись утверждения: есть элемент множества , или: принадлежит . Аналогично, обозначение используется, как краткая запись утверждения: не является элементом множества , или: не принадлежит . Множество, не имеющее элементов, называется пустым и обозначается .

Укажем ряд способов задания множеств. Во-первых, можно просто перечислить все элементы множества, если этих элементов – конечное число, т.е. если множество конечное. Например, множество, состоящее из двух чисел, 0 и 1. В этом случае используется обозначение {0,1}. Для произвольного конечного множества, например, состоящего из различных элементов , используется обозначение . Подчеркнём, что в этом обозначении множества элементы должны быть различными, однако они могут быть перечислены в произвольном порядке, например, и - различные обозначения одного и того же множества.

Можно также указать свойство, которому удовлетворяют элементы рассматриваемого множества. Например, множество действительных чисел, больших 5. Обозначим его .

Некоторые множества определяются с помощью указания способа последовательного построения его элементов. Например, .

Новые множества можно получать и в результате операций над заданными множествами.

Наиболее часто у нас будут рассматриваться множество R действительных чисел, множество N натуральных чисел, множество Z целых чисел, множество Q рациональных чисел.

Подмножества

Важный способ задания множества – выделение его, как части некоторого основного множества. Основное множество образуется всеми элементами какого-нибудь определённого типа. Например, множество целых чисел, множество простых чисел и т.п.

В качестве примера рассмотрим основное множество целых чисел и выберем в нём те числа, которые делятся на 2, т.е. чётные числа. Мы получили множество чётных чисел, которое является подмножеством основного множества целых чисел.

В общем случае, если все элементы множества являются также элементами множества , то мы говорим, что есть подмножество , или включено в , и обозначаем это так: .

Если оказалось, что одновременно и , то эти множества называются равными, что обозначается . Проще говоря, равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Из того, что и следует, что (т.е. отношение включения множеств является транзитивным. Понятие отношения и его свойства будут подробнее описаны в билете 2).

Операции над множествами

Пусть задано некоторое основное множество и его подмножества и .

Определение. Объединение этих множеств определяется, как подмножество множества , состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств и .

Определение. Пересечение этих множеств определяется, как подмножество множества , состоящее из элементов, одновременно входящих как в множество , так и в множество .

Определение. Дополнение множества определяется, как подмножество множества , не содержащее элементов множества .

Перечислим некоторые свойства операций над множествами.

В качестве примера докажем свойство . Для этого заметим, что условие равносильно тому, что . Это, в свою очередь, равносильно тому, что и , т.е. . Свойство доказано.

Это утверждение, вместе с утверждением , называют теоремами де Моргана. Доказательства остальных свойств ещё проще и мы их опускаем.

Подмножества основного множества вместе с введёнными выше операциями, дают пример так называемой булевой алгебры.

ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ, БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

Определение.. Пусть даны два множества, и . Образуем множество упорядоченных пар элементов, у которых первый элемент принадлежит , а второй - . Полученное множество называется декартовым произведением множеств и и обозначается .

Перечислим некоторые простейшие свойства декартова произведения.

Если , то ;

.

Отметим, что тогда и только тогда, когда .