Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 3. 4 страница

которую будем называть соответствующей уравнению (1).

Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая

Теорема 1. Левая часть любого I-го интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает I-й интеграл системы (2).

Пусть

совокупность независимых I интегралов системы (2).

В пространстве с координатами эта система интегралов определяет - параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.

Вдоль любой интегральной кривой системы (2) имеем

. (3)

Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы пропорциональны функциям , следовательно, в силу однородности относительно левой части тождеств

дифференциалы могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)

. (4)

Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения независимых переменных (в силу теоремы существования), и левая часть (4) не зависит от постоянных и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождество (4) справедливо не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция является решением исходного уравнения

. (1)

Обратно, пусть некоторая функция обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):

Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2) и пропорциональны, то

а, следовательно, вдоль интегральной кривой, а это и значит (в силу теоремы единственности), что есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.

Теорема 2. , где – произвольная дифференцируемая функция, - независимые I-е интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.

Пусть есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция такая, что . Так как являются решениями уравнения (1), то

(5)

Эта система в каждой точке x ,…, x рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к. по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель

тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями имеется функциональная зависимость

. (6)

В силу независимости I-х интегралов системы (2) по крайней мере один из миноров порядка якобиана

вида

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде

Ч.т.д.

Пример.

Проинтегрировать уравнение

Система уравнений характеристик

имеет следующие независимые первые интегралы

Общее решение исходного уравнения имеет, таким образом, следующий вид

и является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.

6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

6.1. Уравнения - го порядка, разрешаемые в квадратурах.

I. Уравнение вида

(1)

интегрируется в квадратурах:

,…

………………………………………………………………….

. (2)

Формула (2) дает общее решение уравнения (1). Преобразуем первый член в формуле (2) справа. При он имеет вид

Воспользуемся формулой Дирихле

. (3)

Пусть теперь :

Внутренний двойной интеграл заменим по формуле (3)

Теперь снова воспользуемся формулой Дирихле

Пусть для справедлива формула

Тогда получаем

Итак, окончательно имеем для любого натурального :

. (4)

Это формула Коши. Формула (4) дает частное решение уравнения (1), удовлетворяющее нулевым начальным данным

а в совокупности с (2) имеем общее решение.

Если дано уравнение вида

, (5)

то, разрешив его относительно , получим уравнение вида (1), но иногда это уравнение лишь позволяет выразить и как функции некоторого параметра . Пусть эти параметрические уравнения имеют вид

. (6)

По определению

т.е. с учетом (6)

откуда

и т.д. В результате получим

Исключив из последних соотношений , получим общий интеграл уравнения (5).

Замечание. Рассматривая (6) как замену переменных, можно воспользоваться формулой Коши (4):

, (7)

где соответствует , а соответствует . Вместо в (7) подставлено .

Пример.

Полагаем , тогда . Отсюда

т.е.

или

Эта формула вместе с формулой дает параметрическое представление общего решения уравнения.

II. Уравнение вида

(8)

также приводится к квадратурам.

Пусть сначала уравнение (8) разрешено относительно , т.е.

. (8а)

Полагая , имеем

Отсюда получаем

Пусть это соотношение разрешено относительно , т.е.

тогда

В соответствии с предыдущим

Если же уравнение (8) неразрешимо в явном виде, но можно ввести параметр , так, что

, (8б)

то тогда имеем , или , т.е. , откуда для получаем

Далее, последовательно

и, наконец,

III. Уравнение вида

(9)

сводится к предыдущим случаям.

Положим , тогда имеем

. (10)

Если уравнение (10) разрешено относительно :

, (10а)

то перепишем его в виде

т.е.

откуда

Теперь

Откуда общий интеграл уравнения (10а):

Т.к. , то полученное выражение принимает вид

а это – уравнение вида (5), т.е. оно интегрируется.

Если же уравнение (9) приводится к виду

, (9а)

то действуем следующим образом:

Исключая , получим

Откуда в силу (9а):

т.е.

Имея параметрические представления , мы свели задачу к виду (8б).

6.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.

I. Уравнение вида

(11)

заменой приводится к виду

(11а)

порядка . Уравнение решается в квадратурах (см. выше).

II. Уравнение вида

. (12)

Здесь полагают: , за независимую переменную принимают . Тогда

Легко доказать методом полной индукции, что выражается через . Подставляя выражения для в новых переменных в уравнение (12), получим новое дифференциальное уравнение - го порядка

т.е. порядок уравнения понижен на единицу.

6.2.1. Понижение порядка в однородных уравнениях.

I. Рассмотрим уравнение вида

, (13)

в котором - однородная функция от , т.е.

(14)

для любого , - порядок однородности.

Из (14) следует, что если - решение уравнения (13), то и - также является решением уравнения (13).

Введем новую неизвестную функцию при помощи соотношения

. (15)

Тогда

и вообще выражается в виде произведения на выражение, содержащее и его производные до - го порядка. Подставим эти выражения в (13) и учтем (14):

Отбрасывая множитель , получим уравнение порядка :

Найдя , будем иметь

Пример.

однородное уравнение II-го порядка. Подставляя , получим:

т.е. - линейное уравнение. Его решение, например, методом Даламбера

откуда

II. Уравнения, однородные относительно .

Запишем уравнение (13) в следующем виде

. (16)

Это однородное уравнение, если

(17)

Это уравнение не изменится, если заменить на , а на , где - постоянная. Введем новые переменные при помощи соотношений

Тогда

Далее,

,…

Итак, мы имеем

,… (18)

(при этом взяты в предположении, что независимая переменная есть , а - в предположении, что независимая переменная есть ).

Подставим (18) в (16), воспользуемся (17) и сократим на , тогда получим

Мы получили уравнение - го порядка, которое явно не содержит независимую переменную . Замена позволяет понизить его порядок на единицу.

III. Уравнения, левая часть которых является точной производной.

Пусть в уравнении (13)

т.е.

, (19)

тогда каждое решение уравнения (13) является решением дифференциаль-ного уравнения

и обратно. Таким образом, соотношение (19) является первым интегралом уравнения (13), т.е его порядок понижен на единицу.

Пример.

Разделим обе части уравнения на :

Первый интеграл:

т.е.

Здесь снова, интегрируя, получим

т.е. .

Список литературы

[1] В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1953г.

[2] А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998.

[3] Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965 г.

[4] Р.Беллман. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1978г.

[5] Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва-Ижевск: РХД, 2001г.

[6] В.Ф.Филиппов. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.:Наука, 1990г.

[7] Сборник задач по математике для ВТУЗов. Под редакцией А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. Т.2. М.:Наука, 1995 г.

[8] А.Г.Кюркчан, Н.И.Смирнова. Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч.1. М.: МТУСИ, 2007, Ч.2. М.: МТУСИ, 2010.

План УМД 2010-2011 уч. г., п.

Александр Гаврилович Кюркчан

Надежда Ивановна Смирнова