Вынужденные колебания механической системы с одной степенью свободы без сопротивления.

Q(t) - обобщенная сила характеризующая внешнее воздействие на колебательную систему. , где: H - амплитуда, p - циклическая (круговая) частота, - начальная фаза обобщенной силы. Определяем положение системы обобщенной координатой q, при равновесии Уравнение Лагранжа II рода: (1). Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы, для Т и П воспользуемся выражениями: , . Находим: (2). Подставляя (2) в (1), получим: , где: = const, круговая или циклическая частота собственных колебаний системы, = const. - НЛДУ II порядка с постоянными коэффициентами (1). Решение q(t) это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, то есть: . Однородное уравнение для определения это уравнениее собственных колебаний, его решение: . Частное решение неоднородного уравнения называют вынужденными колебаниями системы. Оно зависит от соотношения круговых частот «k» и «p» свободных колебаний и возмущающей силы. Здесь возможны два случая: отсутствие резонанса () и резонанс (). k≠p - частное решение (1) Далее, учитывая общее решение уравнения и частное, запишем общее решение для (1): , или в амплитудной форме Постоянные и определяются из начальных условий: . k=p - частное решение (1) Далее, учитывая общее решение уравнения и частное, запишем общее решение для (1): , или в амплитудной форме: . Постоянные и определяются из начальных условий: .
18)Свободные колебания механической системы с двумя степенями свободы без сопротивления.

В частном случае системы с двумя степенями свободы квадратичные формы Т, П, Ф будут соответственно равны ; (4.1) ; (4.2) , (4.3) а дифференциальные уравнения малых колебаний примут вид (4.4) Рассмотрим свободные колебания консервативной системы. В этом случае и дифференциальные уравнения принимают вид: (4.5) Начальные условия для имеют вид: (4.6) В силу положительной определенности квадратичной формы кинетической энергии обобщенные инерционные коэффициенты удовлетворяют соотношениям а аналогичные соотношения для квазиупругих коэффициентов являются достаточными условиями устойчивости положения равновесия системы. Коэффициенты и , связывающие в уравнениях (4.5) обобщенные координаты и , называют соответственно коэффициентами инерционной и упругой связи. Если в колебательной системе коэффициент , ее называют системой с упругой связью, а если – системой с инерционной связью. Парциальной системой, соответствующей обобщенной координате , называют условную колебательную систему с одной степенью свободы, получаемую из исходной системы, если наложить запрет на изменение всех обобщенных координат, кроме . Парциальными частотами называют собственные частоты парциальных систем: . (4.7) Поскольку уравнения (4.5) содержат только обобщенные координаты и их вторые производные по времени, ищем их решение в виде (4.8) где – пока неопределенные величины. Подставив (4.8) в (4.5) и приравняв коэффициенты при синусах, получим однородную алгебраическую систему относительно и А₂ (4.9) Для того, чтобы однородная алгебраическая система (4.9) имела ненулевое решение, она должна быть вырожденной, т.е. ее определитель должен равняться нулю: (4.10) Следовательно, решение (4.7) будет иметь смысл только при тех значениях , которые удовлетворяют условию (4.9). Раскрывая (4.10), получаем (4.11) или (4.12) Уравнение, представленное в форме (4.10), (4.11) или (4.12) называют частотным. Как видно из (4.12) частотное уравнение – биквадратное уравнение. Найденные из (4.10)–(4.12) значения называют собственными частотами колебаний системы. Исследование корней частотного уравнения позволяет сделать следующие выводы: 1) если положение равновесия устойчивое, то оба корня частотного уравнения положительны; 2) первая собственная частота системы всегда меньше меньшей парциальной частоты, а вторая – больше большей парциальной частоты. Для колебательных систем с упругой связью ( = 0) справедливо равенство (4.13) Запишем два частных независимых решения, соответствующих частотам и , в виде (4.14) где вторая цифра в индексе соответствует номеру частоты, или номеру тона колебаний. Константы не являются независимыми, так как система (4.9) вырожденная. Коэффициенты связаны между собой соотношениями , где . (4.15) , где . (4.16) С учетом (4.15) и (4.16) частные решения (4.14) будут иметь вид (4.17) Колебания, уравнения которых имеют вид (4.17) называют хлавными колебаниями. Они представляют собой гармонические колебания с частотами и соответственно. Коэффициенты называют коэффициентами распределения амплитуд. Они характеризуют отношение амплитуд в главных колебаниях или форму главных колебаний. Коэффициенты распределения амплитуд и, следовательно, формы главных колебаний, как и собственные частоты, определяются параметрами самой колебательной системы и не зависят от начальных условий. Поэтому формы колебаний называют, так же как и частоты, собственными формами колебаний при колебаниях по соответствующему тону. Общее решение системы уравнений (4.5) может быть представлено как сумма найденных частных решений (4.17) (4.18) Общее решение содержит четыре неопределенные постоянные , которые должны определяться из начальных условий (4.6). При произвольных начальных условиях обе константы и отличны от нуля. Это означает, что изменение во времени каждой обобщенной координаты будет представлять собой сумму хармонических колебаний с частотами и . А такие колебания являются не только не хармоническими, но в общем случае и не периодическими. Рассмотрим случай свободных колебаний системы, когда собственные частоты колебаний системы и мало отличаются друг от друга: Обозначим разность аргументов синусов в общем решении (4.18) уравнений свободных колебаний . (4.19) При величина , а с возрастанием времени эта зависимость из-за малости увеличивается очень медленно. Тогда С учетом последнего равенства, общее решение уравнений свободных колебаний (4.18) может бытьт записано в виде: (4.20) В этих уравнениях (4.21) Так как выражения (4.21) зависят от и , а угол медленно изменяется с изменением времени, то рассматриваемые колебания (4.20) будут колебаниями с периодически изменяющейся амплитудой. Период изменения амплитуды в этом случае значительно больше периода колебаний (рис. 4.1). Если коэффициенты распределения амплитуд и имеют разные знаки, то максимуму соответствует минимум и наоборот. При усилении первого главного колебания интенсивность второго главного колебания уменьшается и наоборот, то есть энергия движения системы периодически оказывается как бы сосредоточенной то в одном, то в другом звене этой вибрирующей системы. Такое явление называют биением. Возможен другой подход к решению задачи о свободных колебаниях системы – найти какие-то новые обобщенные координаты и называемые нормальными или главными, для которых при любых начальных условиях движение будет одночастотным и хармоническим. Зависимость между обобщенными координатами и , выбранными произвольно, и главными координатами и можно выразить так: (4.22) где и – коэффициенты распределения амплитуд (коэффициенты формы). Можно показать, что переход от исходных координат к главным приводит квадратичные формы кинетической и потенциальной энергии к каноническому виду: (4.23) Здесь Подставив полученные для и выражения (4.23) в уравнения Лагранжа второго рода, получим уравнения малых колебаний системы в главных координатах: причем Выразив из системы (4.22) и через и получим

(4.24)Нормальные координаты находят широкое применение при решении задач о вынужденных колебаниях в случае произвольного возмущения, а также при решении задач о свободном движении в неконсервативных системах. Вопросы? Не слышу?
19)Вынужденные колебания механической системы с двумя степенями свободы без сопротивления. Не проходили:D