Качественный критерий устойчивости Ляпунова А.М.

Устойчивость САУ. Определение устойчивости ЛНС САУ 1-го порядка по дифференциальному уравнению. Определение устойчивости ЛНС САУ n-го порядка по дифференциальному уравнению. Качественный критерий устойчивости Ляпунова А.М. Определение устойчивости системы по характеристическим уравнениям. Алгебраический критерий устойчивости (Рауса-Гурвица). Амплитудно-фазовый критерий Найквиста. Определение устойчивости системы по логарифмическим характеристикам. Частотный критерий Михайлова А.В.

Понятие устойчивости связано со способностью системы возвращаться в исходное состояние равновесия после исчезновения внешних возмущающих сил, прилагаемых к системе. Если при отсутствии входного сигнала x(t) выходной сигнал не меняется, то такие состояния называются состоянием равновесия. В ЛНСУ это состояние можно оценить тремя способами:

1. Путем анализа корней дифура САУ в «свободном» состоянии.

2. Путем анализа корней характеристического уравнения САУ.

3. С помощью различных критериев устойчивости.

 

Определение устойчивости ЛНС САУ 1-го порядка по дифференциальному уравнению (1-ый способ):

САУ 1-го порядка описывается следующим уравнением:

 

или

 

Если x(t) = 0, то говорят что система «свободна». Если y(t) не меняется, то dy(t) / dt = 0, и, как следует из уравнения, y(t)=0. Таким образом, равновесие в системе достигается при y(t)=0.

Для определения устойчивости нужно решить предыдущее уравнение, положив x(t) = 0 и переписав его в операторной форме:

. Проведя преобразования, получим:

Заменяя изображение оригиналом, получим:

 

, где

 

- начальные условия, т. е. начальное отклонение от равновесного состояния.. При k>0 и t, стремящемся к бесконечности, следует, что y(t) стремится к нулю, т.е. отклонение системы от равновесия со временем станет нулевым. Следовательно, система устойчива.

При k<0 система неустойчива. График показан на рисунке.

 

 

Определение устойчивости ЛНС САУ n-го порядка по дифференциальному уравнению (1-ый способ):

 

Система n-го порядка описывается уравнением n-го порядка:

 

При x(t)=0 система находится в свободном состоянии и её уравнение:

 

В физических системах коэффициенты уравнения действительны и решение имеет вид:

 

 

Состояние системы устойчиво, если все - отрицательны.

Если хотя-бы один коэффициент положителен, то система неустойчива.

Таким образом, ЛНС САУ любого порядка устойчива, если корни решения дифура системы в свободном состоянии стремятся к нулю при .

 

Качественный критерий устойчивости Ляпунова А.М.

Определение устойчивости методом Ляпунова А.М. заключается в следующем:

Для определения устойчиво ли состояние равновесия необходимо к системе приложить возмущение и рассмотреть движение системы после снятия возмущения. Устойчивая ЛН САУ стремится к исходному состоянию. Неустойчивая САУ– удаляется от состояния равновесия. Реальная неустойчивая система со временем переходит в нелинейный режим и возникают автоколебания.