II. Формування вмінь розкладати многочлени на множники

04.02.2015

Урок 50

Тема уроку. Використання формул скороченого множення для розкладання многочленів на множники

Мета уроку: формування вмінь учнів розкладати многочлени на множники.

Тип уроку: комбінований.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаного домашнього завдання та відповісти на запитання, які виникли в учнів.

Розв'язання

´ Вправа 794.

а) х ⁴ – х ² = 0; х ²(х ² – 1) = 0; х ²(х – 1)(х + 1)= 0; х ² = 0 або х – 1 = 0, або х +1 = 0; х = 0, або х = 1, або х = -1. Відповідь. 0; 1; -1.

б) х ³ – 25 х = 0; х (х ² – 25) = 0; х (х – 5)(х + 5) = 0; х = 0, або х – 5 = 0, або

х + 5 = 0; х = 0 або х = 5, або х = -5. Відповідь. 0; 5; -5.

в) 5 х ³ – х ⁴ = 0; х ³(5 – х) = 0; х ³ = 0 або 5 – х = 0; х = 0, або x = 5.

Відповідь. 0; 5.

г) х ³ – 0,04 х ² = 0; х ²(х – 0,04) = 0; х ² = 0 або х – 0,04 = 0; х = 0,або х = 0,04. Відповідь. 0; 0,04.

´ Вправа 795.

а) ах ² – 2 ах + а = а (х ² – 2 х + 1) = а (х – 1)²;

б) 20 а ³ – 20 а ² + 5 а = 5 а (4 а ² – 4 а + 1) = 5 а (2 а – 1)²;

в) 27 а ⁶ + 3 а ² – 18 а ⁴ = 3 а ²(9 а ⁴ – 6 а ² + 1) = 3 а ²(3 а ² – 1)²;

г) 45 х ³ + 20 х – 60 х ² = 5 х (9 х ² – 12 х + 4) = 5 х (3 х – 2)²;

ґ) тх ²+ 4 mx + 4 m = т (х ² + 4 х + 4) = т (х + 2)²;

д) р ² + 6 хр ² + 9 х ² р ² = р ²(1 + 6 х + 9 х ²) = р ²(1 + 3 х)².

´ Вправа 798.

а) 4 аb + 12 b – 4 а – 12 = 4 b (а + 3) – 4(а + 3) = (а + 3)(4 b – 4) = 4(а + 3)(b – 1);

б) 10 + 0,6 хy – 5 у – 1,2 х = 10 – 5 у + 0,6 ху – 1,2 х = 5(2 – y) – 0,6 x (2 – y) =

= (2 – y)(5 – 0,6 x);

в) m ² – х ² – 4 х – 4 = т ² – (х ² + 4 х + 4) = т ²– (х + 2)² = (m – x – 2)(m + x + 2);

г) x ² – y ² – 6 x + 9 = - y ² + (x ² – 6 x + 9) = (x – 3)² – y ² – (x – y – 3)(x + y – 3).

´ Вправа 800.

а) а – b ² + а ² – b = (а – b) + (а ² – b ²) = (а – b) + (а – b)(а + b) =

= (а – b)(1 + а + b);

б) c ³ – 3 d ² + 3 c ² – cd ² = (c ³ + 3 c ²) – (cd ² + 3 d ²) = c ²(c + 3) – d ²(c + 3) =

= (c + 3)(c ² – d ²) = (c + 3)(c – d)(c + d);

в) х ³ – а ³ + х – а = (х ³ – а ³) + (х – а) = (х – а)(х ² + ха + а ²) + (х – а) =

= (х – а)(х ² + ха + а ² + 1);

г) a + b – a ³ – b ³ = (a + b) – (a ³ + b ³) = (a + b) – (a + b)(a ² – ab + b ²) =

= (a + b)(1 – a ² + ab – b ²).

 

II. Формування вмінь розкладати многочлени на множники

Розв'язування вправ:

1) колективно — 802 (а, д), 805 (а, г), 806 (а, г), 807 (а, г), 809 (а, г), 814 (а, г), 816 (а, д), 818 (а, д), 820, 821, 823 (в), 827, 833 (а, г);

2) самостійна робота навчального характеру:

варіант 1 — 802 (б, г), 805 (в), 806 (б), 807 (в), 809 (б), 811 (б), 812 (а), 814 (в), 815 (а), 816 (в, г), 818 (б, г), 823 (б), 825, 829, 831, 833 (в), 835 (а), 836 (б), 838 (а), 839 (б), 840 (а);

варіант 2 — 802 (в, ґ), 805 (б), 806 (в), 807 (б), 809 (в), 811 (а), 812 (б), 814 (б), 815 (б), 816 (в, ґ), 818 (в, ґ), 823 (а), 826, 830, 832, 833 (б), 835 (б), 836 (а), 838 (б), 839 (а), 840 (б).

Розв'язання і відповіді

´ Вправа 802.

а) а (0,1 + а)(0,01 – 0,1 а + а ²); б) -(1 + а ²)(1 – а ² + а ⁴);

в) - 8 у (у ² + 2)(у ² – 2 у + 4);г) (1 + c ² x)(1 – c ² x + c ⁴ x ²);

ґ) а (0,2 + а ²)(0,04 – 0,2 а ² + а ⁴); д) (30 – y ⁹)(900 + 30 y ⁹ + y ¹⁸).

´ Вправа 805.

а) ; б) ;

в) ; г) .

´ Вправа 806.

а) ах (0,2 x – 1)²; б) х (2 а – 0,5 x)²; в) пс ²(1,1 с + 1)²; г) 0,5 а ²(х – 1)².

´ Вправа 807.

а) ; б) ;

в) а ²(1 + а)(1 – а)(1 + а); г) х ²(1 – х)(1 + х ²).

´ Вправа 809.

а) а (2 – у)(х + у);б) х (с + п)(1 + с ²);

в) (х – у)(х – у + 1);г) (3 а + 1)(3 а + 2).

´ Вправа 811.

a) (x ² + y ²)(a – 1)²;б) (x ² + y ²)(a ² + a + 1).

´ Вправа 812.

а) (a – c – x – 1)(a – c + x + 1); б) (a ² – 1 – a + c)(a ² – 1 + a – c).

´ Вправа 814.

a) (ab – 1)² – (c + 3)²; б) (a + 1)² – (b + 1)²;

в) (а – 2 x)² – (x – с)²; г) (a ² – 2)² – (a+ x)².

´ Вправа 815.

а) (10 x + 5)²; б) (5 с ² + 5)².

´ Вправа 816.

а) Оскільки (x + 2)²≥ 0, то (x + 2) + 1 > 0.

б) Оскільки х ² ≥ 0 (і дорівнює нулю, якщо x = 0) і (x – 3)² ≥ 0 (і дорівнює нулю, якщо х = 3), то х ² + (х – 3)²> 0.

в) Оскільки (x – 1)² ≥ 0 (і дорівнює нулю, якщо х = 1) і (x + 2)² ≥ 0 (і дорівнює нулю, якщо х = -2),то (х – 1)² + (x + 2)² > 0.

г) Оскільки х ²– 4 x + 5 = х ²– 4 x + 4 + 1 = (х – 2)² + 1, то (x – 2)² + 1 > 0.

ґ) Оскільки х ² – х + 1 = х ² – х + 0,25 + 0,75 = (х – 0,5)² + 0,75, то

(х – 0,5)² + 0,75 > 0.

д) Оскільки 9 х ²– 6 х + 2 = 9 x ² – 6 х + 1 + 1 = (3 х – 1)² +1, то (3 x – 1)² + 1 > 0.

´ Вправа 818.

а) При х = 0 вираз набуває найменшого значення 5.

б) При х = 2вираз набуває найменшого значення (2 – 2)² = 0.

в) При х = 3 вираз має найменше значення (3 – 3)² + 5 = 5.

г) Оскільки х ² – 6 х + 9 = (х – 3), то найменшого значення 0 цей вираз набуває при х = 3.

ґ) Оскільки х ²+ 4 x + 6 = х ²+ 4 x + 4 + 2 = (х + 2)² + 2, то най­меншого значення вираз (-2 + 2)² + 2 = 2 набуває при х = -2.

д) Оскільки 4 х ² – 4 x + 3 = 4 x ² – 4 x + 1 + 2 = (2 x – 1)² + 2, то найменшого значення вираз + 2 = 2 набуває при х = .

´ Вправа 820.

Оскільки ((7 х + 5) х – 6) х + 3 = (7 х ²+ 5 х – 6) х + 3 = 7 х ³+ 5 х ² – 6 х + 3, то тотожність доведена.

´ Вправа 821.

37 у ³ – 12 у ² + 49 у – 135 = ((37 у – 12) у + 49) у – 135 = А.

а) Якщо y = 19, то А = 250247.

б) Якщо у = 2,7, то А = 638,091.

в) Якщо у = 3,34, то А = 1273, 401848.

´ Вправа 823.

а) (n + 1)² – (n – 1)² = (n + 1 – n + 1)(п + 1 + n – 1) = 2 · 2 п = 4 п — ділиться на 4.

б) (3 n + 2)² – (3 n – 2)² = (3 n + 2 – 3 n + 2)(3 n + 2 + 3 n – 2) = 4 · 6 n = 24 n — ділиться на 24.

в) (5 n + 3)² – (5 n – 3)² = (5 n + 3 – 5 n + 3)(5 n + 3 + 5 n – 3) = 6 · 10 n = 60 n — ділиться на 60.

´ Вправа 825.

(2 n + 1)² – (2 n – 1)² = (2 n + 1 – 2 n + 1)(2 n + 1 + 2 n – 1) = 2 · 4 n = 8 n — ділиться на 8.

´ Вправа 826.

(2 n + 2)² – (2 n)² = (2 n + 2 – 2 n)(2 n + 2 + 2 n) = 2(4 n + 2) = 8 n + 4 при діленні на 8 дає в остачі 4, отже, не ділиться на 8.

´ Вправа 827.

(2 n + 1) = 4 n ² + 4 n + 1 = 4 n (n + 1) + 1. Оскільки n (n + 1) ділиться на 2 (із двох сусідніх чисел одне парне), то 4 n (n + 1) ділиться на 8.

Отже, 4 n (n + 1) + 1 при діленні на 8 дає в остачі 1.

´ Вправа 829.

Оскільки (х + 3)(х – 2) = х ²– 2 х + 3 х – 6 = х ² + х – 6, то то­тожність доведена.

´ Вправа 830.

Оскільки (с – 3)(с – 4) = с ² – 4 с – 3с + 12 = с ² – 7 с + 12, то тотожність доведена.

´ Вправа 831.

Оскільки (а ⁴ + 1)(а ² + 1)(а + 1)(а – 1) + 1 = 1 + (а ² – 1)(а ² + 1)(а ⁴ + 1) =

= 1 + (а ⁴ – 1)(а ⁴ + 1) = 1 + (а ⁸ – 1) = а ⁸, то тотожність доведена.

´ Вправа 832.

Оскільки (а + 1)⁴ = (а + 1)³ (а + 1) = (а ³ + 3 а ² + 3 аb + 1)(а +1) =

= а ⁴ + а ³ + 3 а ³ + 3 а ² + 3 а ² + 3 а + а + 1 = а ⁴ + 4 а ³ + 6 а ² + 4 а + 1, то тотожність доведена.

´ Вправа 833.

а) 0. б) 2. в) 2; 1; -1. г) 3.

´ Вправа 835.

а) 3; -4. б) -0,5; 2.

´ Вправа 836.

а) 2; 3; -3. б) 3; 0; 2; -2.

´ Вправа 838.

а) 2; -2. б) 9; -9.

´ Вправа 839.

а) 3; 1; -1. б) 1; 2; -2.

´ Вправа 840.

а) -2; 5; -5. б) 1,5; 3; -3.

IIІ. Домашнє завдання

Повторити § 20. Вправи 803, 808, 813, 834 (Обрати п'ять номерів.)

 

IV. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу.

1) Наведіть відомі вам способи розкладання многочленів на множники.

2) Розкладіть на множники многочлени:

а) ах ² – ау ²; б) bх ³ – by ³;в) сх ³ + су ³;г) х ⁴ – у ⁴.