Дискретное преобразование Фурье

Введение

На лабораторном занятии были изучены возможности по дискретному тригонометрическому преобразованию (ДТП) со следующих точек зрения:

 

1. Проверили свойство обратимости заданного ДТП.

2. Исследовали линейность предложенного ДТП.

3. Изучили особенности повтора спектра у проверяемого ДТП.

4. Определили наличие симметричного отражения спектра у ДТП, а именно

4.1. наличие центральной симметрии,

4.2. наличие осевой (вертикальной) симметрии.

5. Рассмотрели влияние фазовых сдвигов сигнала на результирующее ДТП.

6. Проверили наличие свойства подобия для заданного преобразования.

7. Исследовали возможность фильтрации сигналов с помощью заданного ДТП.

8. Проверили экспериментально сохранение энергии исследуемым ДТП.

9. Обнаружили связь данного ДТП с дискретным преобразованием Фурье.

Так же были рассмотрены различные входные сигналы для более представительного анализа.

Наиболее известным среди дискретных функциональных преобразований является дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Дискретное преобразование Фурье

 

Дискретное преобразование Фурье определяет линейчатый спектр дискретизованной периодической функции времени. Обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру. Эти преобразования обычно сокращенно называют соответственно ДПФ и ОДПФ.

ДПФ служит для анализа периодических функций, и его можно получить исходя из теории рядов Фурье. Пусть x0(t) — непрерывная периодическая функция с периодом Р и частотой f0 = 1/P так что

 

Функцию x0(t) можно разложить в ряд Фурье:

(1)

где коэффициенты разложения Х0(n) заданы формулой

(2)

Обычно x0(t) является действительной функцией, и тогда Х0(n) — комплексные (но это ограничение не обязательно). Поскольку мы рассматриваем x0 как функцию времени, то Х0(n) можно назвать комплексным спектром x0(t). По действительной и мнимой частям X0(n).можно найти амплитуду и фазу составляющих, образующих колебание x0(t).

Рассмотрим дискретизацию периодической функции x0(t). Для того чтобы эту функцию можно было дискретизовать однозначно, в ее спектре не должно быть составляющих с частотой, выше некоторой частоты f1 т. е.

 

где n1 — целое значение n, задающее частоту f1.

 

На фиг. 1 показаны такой ограниченный спектр и колебание, которому он соответствует.

интервал дискретизации Т равен

 

так что число отсчетов на период будет

 

Фиг. 1. Периодическая функция x0(t) с ограниченной полосой частот и ее спектр X0(n).

1В результате дискретизации получаем периодическое, нормализованное относительно Т колебание вида

(3)

Это колебание определено на интервале, равном его периоду, т. е.

 

или

 

Поскольку x(t/T) – периодическая функция для расчета коэффициентов ряда Фурье используется соотношение (2)

 

(Замена Р на /V в делителе и пределах интегрирования соответствует переходу к нормализованной переменной.) Подставляя выражение (3), получаем

 

Известно, что

 

поэтому

 

Окончательно с учетом того, что по определению

 

получим

(4)

Соотношение, связывающее x(k) с Х(n), может быть получено непосредственно из формулы (1), если подставить t=kT и учесть, что при ограниченной ширине спектра функции x0(t) сумма содержит конечное число членов. Итак,

(5)

Следует заметить, что x(k) —периодическая функция, т. е.

 

и аналогично

 

Тот факт, что спектр является периодическим, объясняется периодичностью спектра любой дискретизованной функции, а его дискретный характер связан с тем, что сама дискретизуемая функция также периодическая.

Итак, при дискретизации периодической функции x0(t) соотношение (4) позволяет по выборкам x0(t) найти спектр Х(n), который на интервале 0 ≤ n ≤ N - 1 в точности равен спектру Х0(n) исходной периодической функции. Функция x(k) и ее спектр графически представлены на фиг. 2. Поскольку соотношение (5.4) получено на основании теоремы отсчетов, оно является точным и экономичным (при расчетах) эквивалентом исходного интегрального соотношения (2) и может быть использовано для вычисления коэффициентов разложения на ЭВМ. Соотношения (4) и (5) будем называть дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и обратным дискретным преобразованием Фурье (ОДПФ) соответственно. Заметим, что переменная n меняется здесь от нуля до N—1. Получаемый спектр можно интерпретировать следующим образом. Первые (N/2—1) точек Х(n) -соответствуют (N/2 — 1) спектральным линиям Х0(n) на положительных частотах, как показано на фиг. 5.3, а последние (N/2—1) точек Х(n) соответствуют (N/2—1) спектральным линиям на отрицательных частотах.

Пара преобразований, заданная соотношениями (4) и (5), встречается и в другом виде. Например, множитель 1 / N и знак минус у экспоненты могут быть записаны как в прямом, так и в обратном преобразовании, общий смысл при этом не меняется.

Естественно, спектр в этом случае нельзя непосредственно отождествлять с тем, который определен формулой (2). Иногда оба преобразования приводятся с одинаковыми множителями (1 / N)1/2.

 

Фиг. 2. Дискретизированная периодическая функция x(k) и ее периодический спектр Х(n).

 

Фиг. 3. Соотношение между коэффициентами ряда Фурье и ДПФ.

Свойства ДПФ

 

Некоторые свойства ДПФ играют в практических вопросах обработки сигналов важную роль.

Линейность

Если xр(n) и ур(n) — периодические последовательности (с периодом в N отсчетов каждая), а Хр(k) и Yp(k) — их ДПФ, то дискретное преобразование Фурье последовательности хр(n) + + ур(n) равно Хр(k) + Yp(k). Это положение справедливо и для последовательностей конечной длины.

Сдвиг

Если последовательность хр(n) периодическая с периодом в N отсчетов, а ее ДПФ равно Хр(k), то ДПФ периодической последовательности вида хр(n—n0) будет равно.

 

 

Фиг. 4. К определению ДПФ сдвинутой последовательности.

 

При анализе последовательностей конечной длины необходимо учитывать специфический характер временного сдвига последовательности. Так, на фиг. 4, а изображена конечная последовательность х (п) длиной в N отсчетов. Там же крестиками изображены отсчеты эквивалентной периодической последовательности хр(n), имеющей то же ДПФ, что и х(n). Чтобы найти ДПФ сдвинутой последовательности х(n - n0), причем n0 < N, следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность Хр(n — n0) и в качестве эквивалентной сдвинутой конечной последовательности (имеющей ДПФ j принять отрезок последовательности хр(n - n0) в интервале 0 ≤ n ≤ N — 1. Таким образом, с точки зрения ДПФ последовательность х(n – n0) получается путем кругового сдвига элементов последовательности х(n) на n0 отсчетов

Свойства симметрии

Если периодическая последовательность хр(n) с периодом в./V отсчетов является действительной, то ее ДПФ Хр(k) удовлетворяет следующим условиям симметрии:

(6)

Аналогичные равенства справедливы и для конечной действительной последовательности х(n), имеющей N-точечное ДПФ X(k). Если ввести дополнительное условие симметрии последовательности хp(n), т. е. считать, что

(7)

то окажется, что Хр(k) может быть только действительной.

Поскольку чаще всего приходится иметь дело с действительными последовательностями, то, вычислив одно ДПФ, можно получить ДПФ двух последовательностей, используя свойства симметрии (6). Рассмотрим действительные периодические последовательности хр(n) и ур(n) с периодами в N отсчетов и N-точечными ДПФ Хр(k) и Yp(k) соответственно. Введем комплексную последовательность zp(n) вида

(8)

Ее ДПФ равно

(.9)

(5.10)

Выделяя действительную и мнимую части равенства (10), получим

(11)

Действительные части Хр(k) и Yp(k) симметричны, а мнимые — антисимметричны, поэтому их легко разделить, используя операции сложения и вычитания:

(12)

Итак, вычисляя одно N-точечное ДПФ, удается преобразовать сразу две действительные последовательности длиной по N отсчетов. Если эти последовательности являются еще и симметричными, то число операций, необходимых для получения их ДПФ, можно сократить еще больше.