Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением

Основные сведения из теории

Поверхности второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка называется любая поверхность, уравнение которой в прямоугольной системе координат имеет вид:

Ах ² + Ву ² + Сz ² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0.

Исследование поверхностей второго порядка проводится по их уравнениям с использованием метода параллельных сечений, суть которого сводится к изучению линий пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями им параллельными. К поверхностям второго порядка относятся эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды, цилиндрические и конические поверхности.

Эллипсоид

Определение. Эллипсоидом называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Охуz уравнением:

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Рассмотрим сечения эллипсоида координатными плоскостями.

Плоскость хОу (z = 0) пересекает эллипсоид по эллипсу, который определяется уравнениями:

Аналогично, плоскость уОz (x = 0) пересекает эллипсоид по эллипсу, определяемому уравнениями:

Плоскость хОz (y = 0) – по эллипсу, который определяется уравнениями:

Если рассмотреть сечения эллипсоида плоскостями, параллельными координатным, то можно убедиться в том, что самые большие эллипсы получаются именно в сечениях координатными плоскостями. Эллипсоид изображен на рисунке (1).

 

 

Рис. 1 Эллипсоид

Если в уравнении (1) a ¹ b, b ¹ c, c ¹ a, то эллипсоид называется трехосным, если какие-либо две полуоси равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Например, если a = b, то получаем эллипсоид вращения вокруг оси Оz.

(2)

При a = b = c эллипсоид превращается в сферу с уравнением:

(3)

Однополостный гиперболоид

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Охуz уравнением:

(4)

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Величины a, b, c называются полуосями однополостного гиперболоида. Вид данной поверхности представлен на рисунке (2).

 

 

Рис 2. Однополостный гиперболоид

В сечении однополостного гиперболоида координатной плоскостью уОz (x = 0) получается гипербола, определяемая уравнениями

а плоскость хОz (y = 0) пересекает однополостный гиперболоид по гиперболе, которая определяется уравнением

В сечениях данной поверхности плоскостями z = h, параллельными плоскости хОу, получаются эллипсы, полуоси которых увеличиваются по мере удаления от плоскости хОу. Наименьший эллипс лежит в координатной плоскости хОу и имеет уравнение

Если a = b в уравнении (4), то получим однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Оz, его уравнение

(5)

Двуполостный гиперболоид

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением

(6)

Уравнение (6) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. Величины a, b, c называются полуосями двуполостного гиперболоида. Вид этой поверхности представлен на рисунке 3

 

Рис. 3. Двуполостный гиперболоид

В сечении этой поверхности плоскостями хОz (y = 0) и yOz (x = 0) получаются гиперболы, соответственно определяемые уравнениями

и

Сечения этого гиперболоида плоскостями z = h, где ½ h ½ > c, параллельными координатной плоскости хОу, представляют собой эллипсы.

Если в уравнении (6) a = b, то оно примет вид:

(7)

и будет определять гиперболоид вращения вокруг оси Оz.

Эллиптический параболоид

Определение. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат Oxyz определяется уравнением:

(8)

где p > 0, q > 0 – параметры эллиптического параболоида.

Уравнение (8) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида. Вид поверхности представлен на рисунке (4).

 

Рис. 4. Эллиптический параболоид

Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями xOz (y = 0) и yOz (x = 0) представляют собой параболы, определяемые соответственно уравнениями:

Сечения данной поверхности плоскостями z = h (h > 0) приводят к эллипсам

которые увеличиваются по мере удаления от плоскости хОу. Точка О(0;0;0) называется вершиной эллиптического параболоида. При р = q уравнение (8) примет вид:

(9)

Оно определяет параболоид вращения вокруг оси Оz.