Геометрическая часть определителя фигуры

å (А, L) – плоскость å определена точкой А и прямой L;

Ф (S, m) – коническая поверхность Ф определена вершиной S и

направляющей – m.

II. Основные геометрические отношения между

Геометрическими элементами

1. ÷÷ – параллельность;

L ÷÷ m – прямая L параллельна прямой m;

2. ^ – перпендикуляр;

m ^ Т – прямая m перпендикулярна плоскости Т;

3. – скрещивание;

m Т – скрещивающиеся прямые m и L;

4. Î – принадлежность для элемента;

Ì – для подмножества;

А Î L – точка А лежит на прямой L;

h Ì å – прямая h принадлежит плоскости å;

5. Ç – пересечение;

L Ç Т – прямая L пересекает плоскость Т;

6. È – соединение, объединение;

m=A È B – прямая m получается в результате соединения точек А и В;

1^II È 2^II = m^II – соединение проекции точек 1^IIи 2^II(дает проекцию прямой m^II);

7. = – результат построения;

8. º – совпадение, А^II º В^II;

9. Þ – если … то;

Z_A = 0 Þ A Î П^I – если координата Z точки А равна 0, то точка А лежит

на плоскости П^I;

10. ç А, В ç – длина отрезка; расстояние от точки А до точки В;

ç А, L ç – расстояние от точки А до прямой L;

11. Ð – угол Ð a, Ð b …;

12. Ù – величина угла;

L Ù П^I – угол образованный прямой L с плоскостью П^I;

13. ç L Ù П ï – натуральная величина угла.

Тема 1, 2. Точка, прямая, плоскость

Контрольные вопросы

1. Как называются плоскости проекций П^I, П^II, П^III? Как делят они пространство?

Что такое оси проекций?

3. Что называется центральной, параллельной и ортогональной проекцией точки? Что называется эпюром?

4. Что называется координатами точки? Какими координатами точки определяется положение на эпюре ее горизонтальной, фронтальной и профильной проекций?

5. Перечислить характерные признаки расположения проекций точки относительно оси Х, если точку перемещать в разные углы пространства?

6. В чем заключается метод Монжа?

7. Какая прямая называется прямой общего положения?

8. Какая прямая называется горизонтальной, фронтальной, профильной?

9. Какие прямые называются проецирующими прямыми?

10. Признак принадлежности точки прямой линии на эпюре.

11. Что называется следом прямой линии?

12. Чему равна координата Y для фронтального следа прямой и координата Z для горизонтального следа прямой?

13. Чему равна натуральная величина отрезка прямой общего положения?

14. Как определяют углы наклона прямой к плоскости проекции П^I и П^II?

15. Что является признаком параллельных прямых на эпюре?

16. Что является признаком пересекающихся прямых на эпюре?

17. Как определить на эпюре видимость конкурирующих точек, принадлежащих скрещивающимся прямым?

18. В каком случае прямой угол проецируется в натуральную величину?

19. Какими геометрическими элементами может быть задана плоскость?

20. Перечислить типовые случаи расположения плоскости относительно плоскостей проекций.

21. В каком случае прямая принадлежит плоскости?

22. В каком случае точка лежит в плоскости?

23. Перечислить проецирующие плоскости. Какими свойствами они обладают?

24. Какие плоскости называются плоскостями уровня? Перечислить их.

25. Какие линии плоскости называются главными?

26. Какая из главных линий служит для определения угла наклона плоскости к плоскостям проекции?

Тема 1, 2	Проекционные основы чертежа	Упражнения
1	Назвать элементы чертежа
Х₁₂- ___________________________________________________________ А^I- ___________________________________________________________ А^II- ___________________________________________________________ А^IА^II - ___________________________________________________________ A^IA_X - ___________________________________________________________ A^IIA_X - ___________________________________________________________
2	По наглядному изображению построить эпюры точек А и В и записать их координаты
A (_______________) B (_______________)
Тема 1, 2	Проекционные основы чертежа. Точка	Упражнения
3	Построить по координатам изображение точек и определить их положение в пространстве
А (35, 10, 40) В (10, 30, -20) С (25, -20, -15) D (50, 0, 25) Е (65, -30, 0) F (80, 0, 0) N (90, 30, 30)
4	Построить недостающие проекции точек и определить их координаты

Тема 1, 2	Прямая	Упражнения
5	Построить эпюр отрезка АВ и записать координаты концов отрезка

6	Достроить недостающие проекции точек А и В, если точка А принадлежит прямой m, а точка В расположена выше прямой m. Построить на прямой m точку С, равноудаленную от плоскостей проекции П^I и П^II

Тема 1, 2	Прямая	Упражнения
7	Построить через точку А горизонтальную прямую h под углом 45° к плоскости П^II, а через точку В фронтальную прямую под углом 30° к плоскости П^I. Построить их следы

8	Построить следы прямой m и указать на эпюре, через какие четверти пространства она проходит

Тема 1, 2	Прямая	Упражнения
9	Определить натуральную величину отрезка АВ и углы наклона его к плоскостям П^Iи П^II

10	Построить проекции отрезка АВ по заданным координатам его концов: А (30, 10, 10), В (90, 25, 40). Построить проекции точки С, делящей отрезок в отношении АС/СВ=2/3

Тема 1, 2	Прямая	Задачи
11	Найти недостающие проекции точек С и D, принадлежащих отрезку АВ, не строя профильную проекцию отрезка

12	Достроить фронтальную проекцию отрезка АВ, расположенного под углом 30° к плоскости П^I. Определить на отрезке АВ точку С, отстоящую от точки А на 40см

Тема 1, 2	Относительное положение прямых	Задачи
13	Определить расстояние от точки К до прямой h

14	Через точку М провести прямую, пересекающую отрезки АВ и СД

Тема 1, 2	Относительное положение прямых	Задачи
15	Построить проекции фронтальной прямой f, пересекающейся с отрезками прямых АВ и СД и расположенной под углом 30° к плоскости П^I
а) б)
16	Через точку А провести прямую, которая пересекла бы заданную прямую ВС в точке К, удаленной от плоскости П^I на 10мм. Решить двумя способами

Тема 1, 2	Плоскость	Упражнения
17	Как называется каждая из данных плоскостей? Написать название
1 ______________ 2_______________ 3______________ 4 _____________ ______________ _______________ ______________ _____________
18	Через прямую общего положения провести: а) фронтально-проецирующую плоскость å; б) горизонтально-проецирующую плоскость Т; в) плоскость общего положения
а) б) в)
Тема 1, 2	Плоскость	Упражнения
19	Построить недостающую проекцию прямой, лежащей в плоскости

20	Построить точку М в плоскости АВС, если ее расстояние до плоскости П^I равно 30мм, и точку N, отстоящую от плоскости П^II на 20мм

Тема 1, 2	Плоскость	Упражнения
21	Через точку А провести в плоскости АВС горизонталь, а через точку С – фронталь
а) б)
Тема 1, 2	Плоскость	Задачи
22	Найти недостающую проекцию точки К, принадлежащей плоскости Т (А, L)

23	Определить углы наклона a и b плоскости АВС к плоскостям проекций П^I и П^II

Тема 1, 2	Плоскость	Задачи
24	Построить в заданных плоскостях горизонталь на расстоянии 20мм от плоскости П^I и фронталь на расстоянии 25мм от плоскости П^II Т

25	Построить горизонтальную проекцию треугольника АВС. Сторона АВ лежит в плоскости П^II. Угол наклона плоскости АВС к плоскости П^II равен 30°

Тема 3. Позиционные задачи. Взаимное положение прямой и

плоскости, двух плоскостей

Контрольные вопросы

1. В каком случае прямая параллельна плоскости? Алгоритм ее решения.

2. Как через прямую линию провести плоскость, параллельную заданной прямой?

3. Как определить взаимную параллельность двух плоскостей?

4. Условие параллельности двух профильно-проецирующих плоскостей.

5. Как найти точку встречи прямой с проецирующей плоскостью?

6. Как найти линию пересечения двух плоскостей:

а) если одна из плоскостей проецирующая;

б) обе плоскости общего положения.

7. Как найти точку встречи прямой с плоскостью общего положения?

8. Как определить «видимость» прямой линии при пересечении ее с плоскостью?

Литература: [1 гл.IV]

Тема 3	Позиционные задачи. Параллельность прямой и плоскости	Упражнения
26	Определить, параллельна ли прямая m плоскости å (а Ç b)

27	Через точку А провести горизонтальную прямую, параллельную плоскости Т (B, L)^I

Тема 3	Параллельность плоскостей	Упражнения
28	Построить проекцию DАВС, если его плоскость параллельна плоскости Т

29	Построить через точку М плоскость, параллельную плоскости DАВС и плоскости, заданной двумя параллельными прямыми å (а êêb)
а) б)
Тема 3	Пересечение прямой с проецирующей плоскостью	Упражнения
30	Построить проекции точки пересечения отрезка прямой АВ с проецирующей плоскостью. Определить видимость прямой относительно плоскости П^I и П^II
а) б) в) г)
Тема 3	Пересечение плоскостей	Упражнения
31	Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
а) б) в) г)
Тема 3	Пересечение плоскостей	Задачи
32	Построить проекции линии пересечения двух плоскостей
а) б) в) г)
Тема 3	Пересечение плоскостей	Задачи
33	Построить линию пересечения двух плоскостей и определить их видимость относительно плоскостей проекций

Тема 3	Пересечение прямой с плоскостью общего положения	Задачи
34	Построить проекцию точки пересечения прямой MN с плоскостью общего положения. Определить видимость прямой относительно плоскостей проекций П^I и П^II:
а) б) в) г)

Тема 4. Прямая, перпендикулярная плоскости.

Две взаимно перпендикулярные плоскости

Контрольные вопросы

1. Когда прямая перпендикулярна плоскости?

2. Как провести плоскость, перпендикулярную заданной прямой:

а) через точку на прямой?

б) через точку вне прямой?

3. В каких случаях взаимная перпендикулярность одной пары одноименных следов плоскостей соответствует взаимной перпендикулярности самих плоскостей??

4. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?

5. Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения?

6. Перпендикулярны ли плоскости общего положения, если их одноименные следы перпендикулярны?

Литература: [1 §28, 29, 30]

Тема 4	Позиционные задачи. Прямая, перпендикулярная плоскости	Упражнения
35	Через точку А провести прямую, перпендикулярную заданной плоскости
а) б) в) г)
Тема 4	Две перпендикулярные плоскости	Упражнения
36	Через прямую MN провести плоскость, перпендикулярную заданной
а) б)
37	Задать следами плоскость, проходящую через точку А и перпендикулярную заданной прямой
а) б) в)
Тема 4	Перпендикулярность прямых и плоскостей	Задачи
38	Найти проекции перпендикуляра, опущенного из точки А на заданную плоскость

39	Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую L

Тема 5. Способы преобразования чертежа

Контрольные вопросы

1. С какой целью производится преобразование чертежа?

2. В чем заключается способ замены плоскостей проекций?

3. Какое положение относительно заданной системы плоскостей проекций занимает вновь вводимая система плоскостей проекций?

4. На каком расстоянии от новой оси проекций находится новая проекция точки и почему?

5. Сколько новых плоскостей проекций надо ввести, чтобы в новой система плоскостей проекций:

а) прямая уровня заняла проецирующее положение;

б) прямая общего положения заняла проецирующее положение;

в) проецирующая плоскость заняла положение плоскости уровня;

г) плоскость общего положения заняла положение плоскости уровня?

6. В какой последовательности способом замены плоскостей проекций:

а) чертеж прямой общего положения преобразуется в чертеже проецирующей прямой;

б) чертеж плоскости общего положения преобразуется в чертеж плоскости уровня?

7. В чем состоит суть способа вращения вокруг прямой линии? В чем его основное отличие от способа замены плоскостей проекций?

8. Какие задачи решаются способом вращения вокруг проецирующих прямых?

9. В чем заключается способ вращения вокруг главных линий и какие задачи решаются этим способом?

10. В чем заключается способ плоско-параллельного перемещения и какие задачи решаются этим способом?

11. Каковы особенности способа совмещения? Для решения каких задач он применяется?

Литература: [1 гл.V]

Тема 5	Способ замены плоскостей проекций	Упражнения
40	Определить расстояние между двумя скрещивающимися отрезками прямых АВ и СD

41	Определить величину двугранного угла при стороне ВС

Тема 5	Способ замены плоскостей проекций	Задачи
42	Построить недостающую проекцию А^II точки А, удаленной от плоскости å на 20мм

43	Определить натуральную величину отрезка АВ и его угол наклона к фронтальной плоскости проекций

Тема 5	Метод плоско-параллельного перемещения. Вращение вокруг главных линий плоскости	Упражнения
44	Определить натуральную величину треугольника АВС

45	Определить натуральную величину угла между прямыми а и b при вершине С

Тема 5	Вращение вокруг: а) проецирующих прямых; б) главных линий плоскости	Задачи
35	Определить угол наклона d к плоскости треугольника АВС

Тема 6. Многогранники

Контрольные вопросы

1. Каким образом многогранники изображаются на комплексном чертеже?

2. Какие многогранники называются правильными? Назвать известные многогранники.

3. Как определить видимость точки, лежащей на поверхности многогранника?

4. Как определить недостающие проекции точки, лежащей на поверхности многогранника?

5. К чему сводится построение сечения многогранника плоскостью?

6. Что надо учитывать, если плоскость или грани многогранника проецирующие:

7. Что необходимо для определения взаимного положения прямой и поверхности многогранника?

8. Что следует использовать, если прямая или грани многогранника являются проецирующими?

9. Рассказать о нахождении линии пересечения двух многогранников?

Литература: [1, гл. V]

Тема 7. Кривые линии

Контрольные вопросы

1. Какие линии называются плоскими кривыми линиями?

2. Указать способы задания плоских кривых линий.

3. Дать определение кривых второго порядка: эллипса, гиперболы, параболы.

4. Что такое кривизна плоской кривой линии?

5. Чему равна кривизна окружности?

6. Образование цилиндрической винтовой линии. Определение шага и единичного шага винтовой линии.

Литература: [1, гл.VII]

Тема 6	Многогранники	Упражнения
47	Построить две проекции наклонной призмы по заданному основанию АВС и ребру АD. Невидимые ребра нанесите штриховыми линиями

48	Определить недостающие проекции точек, принадлежащих поверхности многогранника. Указать видимость

Тема 6	Многогранники	Упражнение Задачи
49	Построить проекции сечения пирамиды
а) проецирующей плоскостью б) плоскостью общего положения
Тема 6	Многогранники	Упражнение
50	Найти точку встречи прямой а с поверхностью многогранника. Определить видимость

Тема 6	Многогранники	Задача
51	Построить линию пересечения двух многогранников

Тема 7	Плоские кривые линии	Упражнения
52	Построить эллипс по большой оси АВ=80мм и малой оси CD=40мм

Тема 7	Пространственные кривые линии	Упражнения
53	Построить недостающие проекции точек. Указать величину углового и осевого смещения точки А относительно точки В

54	Построить винтовую линию левого хода по заданному шагу Н и радиусу r

Тема 8-11. Кинематические поверхности основных видов.

Пересечение поверхности плоскостью общего положения

Контрольные вопросы

1. Дайте определение кинематической поверхности.

2. Назовите основные способы задания поверхности и изложите их сущность.

3. Что называется каркасом, сетью и очерком поверхности?

4. Какие поверхности называются линейчатыми?

5. Как образуются поверхности вращения, какие линии на этих поверхностях называются параллельными, меридианами, что такое главный меридиан и экватор?

6. Что называется сечением поверхности?

7. Как называются кривые линии пересечения цилиндра, конуса, шара проецирующей плоскостью?

8. В чем заключается способ нахождения точек пересечения прямой линии с поверхностью? Привести схему решения задачи.

9. Какие сечения кривых поверхностей называются простыми?

10. Какие точки сечения называются опорными?

11. Как определить «высшую» и «низшую» точки сечения? (Или большую ось эллипса).

12. Как определяются точки, служащие границей видимой и невидимой части сечения?

13. Как определяют проекции малой оси эллипса?

14. Какой метод положен в основу построения фигуры сечения поверхности плоскостью?

Литература: [1, гл. VIII-IX]

Тема 8-11	Поверхность	Задачи
55	Построить недостающие проекции точек, принадлежащих поверхности

Тема 8-11	Поверхность	Упражнение
56	Назвать линии, полученные в сечении конуса различно расположенными проецирующими плоскостями

Тема 8-11	Поверхность	Упражнение
57	Построить третью проекцию цилиндра и проекции сечения его плоскостью S

Тема 8-11	Поверхность	Задачи
58	Построить точки встречи прямой с поверхностью конуса, шара и тора
а) б) в)
Тема 8-11	Пересечение поверхности плоскостью общего положения	Задача
59	Построить сечение конуса плоскостью общего положения S

Тема 12. Взаимное пересечение поверхностей

Контрольные вопросы

1. Как можно найти линию пересечения двух поверхностей?

2. Когда линией пересечения будет:

а) пространственная кривая;

б) пространственная ломаная кривая;

в) плоская линия (прямая, окружность, эллипс и т.д.);

3. В чем заключается и когда применяется метод вспомогательных секущих плоскостей?

4. В чем заключается и когда применяется метод сфер?

Литература: [1, гл.X]

Тема 13. Развертывание гранных и кривых поверхностей

Контрольные вопросы

1. Дать определение развертки поверхности геометрического тела.

2. Поверхности развертывающиеся и неразвертывающиеся.

3. Указать, по каким схемам можно производить развертывание поверхностей и пирамиды.

4. Указать примеры построения разверток:

а) цилиндрических поверхностей;

б) конических поверхностей;

5. Как построить развертку боковой поверхности усеченного конуса, если нельзя достроить этот конус до полного?

6. В каком случае развертки призмы и пирамиды будут полными?

7. Какой способ целесообразно применить для построения приближенной развертки поверхности сферы?

Литература: [1, гл.XI]

Тема 12	Взаимное пересечение поверхностей	Упражнение
60	Построить линию пересечения двух цилиндров вращения

Тема 12	Взаимное пересечение поверхностей	Задача
61	Построить линию пересечения двух поверхностей

Тема 12	Взаимное пересечение поверхностей	Задача
62	Построить линию пересечения двух поверхностей

Тема 12	Взаимное пересечение поверхностей	Задача
63	Построить линию пересечения заданных поверхностей с помощью концентрических сфер

Тема 13	Развертывание кривых поверхностей	Упражнения
64	Построить развертку боковой поверхности
а) прямого кругового цилиндра б) прямого конуса
Тема 13	Развертывание гранных поверхностей	Упражнения
65	Построить развертку боковой поверхности
а) пирамиды б) наклонной призмы