I. Знакоположительные ряды

Различные формы представления комплексного числа

упорядоченная алгебраическая тригонометрическая показательная

пара форма форма форма

 

модуль комплексного числа;

 

– главное значение аргумента комплексного числа.

 

Действия над комплексными числами

В тригонометрической и показательной формах

 

Уравнение окружности с центром в точке

и радиусом

1) В декартовых координатах: .

2) В комплексной форме: , где .

 

3) В параметрической форме: , где .

 

4) В комплексно-параметрической форме:

Так как , то из 3) , где .

 

5) В показательной форме: или , где .

Элементарные функции в комплексной области

, где .

.

Показательная функция

.

.

 

Тригонометрические функции

.

.

 

.

.

 

Связь между показательной и тригонометрическими

Функциями комплексного переменного

 

– формула Эйлера.

.

 

Гиперболические функции

Обратные тригонометрические функции

или .

Решая это уравнение относительно , получаем:

Отсюда имеем:

 

 

Решая уравнение , получаем:

 

 

Аналогично получаем:

 

Логарифмическая функция

 

;

, где

.

– главное значение логарифма.

, где

Свойства логарифмической функции

1) .

Следствие: .

 

2) .

Следствие: .

 

3) .

Обобщенная степенная функция

.

Дифференцируемость и аналитичность функции

Необходимые условия дифференцируемости

Если функция дифференцируема в точке , то и в точке удовлетворяют условиям Коши-Римана

 

Достаточные условия дифференцируемости

Если функции и дифференцируемы в точке и удовлетворяет условиям Коши-Римана, то функция дифференцируема в точке .

 

3) Формулы для вычисления производной функции

а)

.

б)

.

4) Если функция дифференцируема в каждой точке области и имеет в области непрерывную производную , то она называется аналитической в области.

 

Ряды в комплексной области

Числовые ряды в комплексной области

;

; ( и – числовые ряды).

Теорема 1. Для того чтобы сходился и имел сумму , необходимо и достаточно, чтобы ряды и сходились и имели соответственно суммами числа и .

 

Теорема 2. Если сходится, то сходится и ряд .

(Ряд – абсолютно сходящийся ряд).

Справочные сведения о числовых рядах

, (1)

.

 

Необходимый признак сходимости:

 

Ряд (1) сходится =>

 

Вывод:

 

=> Ряд (1) расходится

I. Знакоположительные ряды

,

Признак сравнения I	Признак сравнения II
. (1) – миноранта, (2) – мажоранта. (3) Ряд (2) сходится => Ряд (1) сходится. Ряд(1) расходится => Ряд (2) расходится.	– знакоположительные ряды (1) (2) Ряды (1) и (2) одновременно сходятся или расходятся.

II. «Эталонные» ряды к признаку сравнения

Геометрический ряд	Обобщенный гармонический ряд
(1) => Ряд (1) сходится: . => Ряд (1) расходится.	(2) => Ряд (2) сходится; => Ряд (2) расходится.

Признак Даламбера

(1) , => ряд (1) сходится, => ряд (1) расходится, =>?

Радикальный признак Коши

(1) , => ряд (1) сходится, => ряд (1) расходится, =>?

Интегральный признак Коши

(1) , – непрерывная, неотрицательная, убывающая функция на промежутке . Тогда сходится => ряд (1) сходится, расходится => ряд (1) расходится.