Предел числовой последовательности.

Задание. Написать первые четыре члена последовательности { x_n }, если: 1) ; 2) х ₁=1, x_n = x_{n – 1}+2.

 

Решение. 1) Подставляя последовательно n =1, 2, 3, 4, … в формулу для общего члена последовательности, найдем: х ₁= –1; ; ; ;

2) В соответствии с формулой x_n=x_{n – 1}+2 получим: х ₂= х ₁+2=3, х ₃= х ₂+2=5, х ₄= х ₃+2=7.

 

Задание. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху? снизу? ограничены?

1) 2; 4; 6; 8; …

2) –1; –4; –9; –16; …

3) –2; 4; –8; 16; ….

Решение. 1) Данная последовательность, состоящая из всех чётных положительных чисел, ограничена снизу, но не ограничена сверху;

2) x_n = – n ²<0 (n =1, 2, 3, …), последовательность ограничена сверху, но не ограничена снизу;

3) x_n =(–2) ⁿ не ограничена, так как для любого числа M >0 можно найти такой номер n, что |x_n|=2 ⁿ > M.

 

Задание. Какие из последовательностей монотонные, а какие — строго монотонные: 1) x_n =2 n +1; 2) –1; –1; –2; –2; –3; –3; …

Решение. 1) данная последовательность строго возрастает, т.к. x_{n +1}=2(n +1)+1=2 n +3>2 n +1= x_n для всех натуральных чисел n;

2) данная последовательность невозрастающая, так как , n =1, 2, … и некоторые (например, первый и второй) члены этой последовательности равны между собой.

 

 

Задание. Доказать, что есть бесконечно малая.

Решение. Запишем последовательность значений:

–1, – , – , – , …, , …

отсюда видно, что с возрастанием n значения переменной x_n приближаются к нулю так, что с некоторого номера N абсолютные значения переменной будут меньше любого наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа . Докажем это. Пусть дано >0, тогда или < , отсюда n > , следовательно, можно принять номер N > , при значении которого для любых номеров n N будет выполняться неравенство . Пусть, например, ε=0,01, тогда для всех n N, где .

Если ε= , то , т.е. можно принять номер N =3. Следовательно, значения переменной по абсолютной величине для всех номеров . Это и означает, что переменная x_n есть бесконечно малая величина.

 

Постановка задачи. Пользуясь определением последовательности, доказать, что .

План решения. 1. Число а называется пределом последовательности { x_n }, если для , . Это означает, что неравенство имеет решение для .

2. Найти, при каких n справедливо неравенство , т.е. решить это неравенство относительно n.

3. Если решение имеет вид , то а — предел числовой последовательности { x_n }.

 

⋙Если решение неравенства нельзя представить в виде , то число а не является пределом последовательности { x_n }.

 

Задание. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что .

Решение. 1. По определению число а =2 называется пределом числовой последовательности , если .

2. Найдём, при каких n справедливо неравенство , т.е. решим это неравенство относительно n.

3. Неравенство имеет решение . Следовательно, 2 — предел числовой последовательности .

 

Задание. Вычислить предел.

 

Решение. 1

 

 

Задание. Вычислить предел.

 

Решение. = 0