Примеры дискретных сигналов

 

Рассмотрим некоторые широко используемые в теории цифровой обработки сигналов последовательности.

1. Сдвиг последовательности x(nT) по оси nT: последовательность y(nT)=x(nT-kT) образуется при сдвиге последовательности x(nT) на k отсчетов вправо (при k >0) или влево (при k<0).

2. Дискретная дельта-функция (единичный импульс) определяется соотношением

. (2.3)

3. Аналитическая запись последовательности. Из определения дискретной d-функции следует, что любая последовательность x(nT) может быть записана в виде

(2.4)

так как все члены суммы при равны нулю.

4. Единичная последовательность определяется соотношением

. (2.5)

5. Экспоненциальная последовательность определяется соотношением x(nT)=e ^{a nT} , где в общем случае a=s+jw - комплексное число. При w=0 a=s - вещественное и x(nT) =e ^{s nT} =cⁿ – вещественная степенная последовательность.

6. Периодической называют последовательность x(nT), удовлетворяющую условию x(nT)= x(nT+mNT), где m и N – целые числа, m= 1, 2, 3, …; NT (или N) – период последовательности. Периодическую последовательность достаточно задать на интервале одного периода. При выходе в результате сдвига из интервала одного периода какого-то отсчета точно такой же отсчет входит в интервал с другого его конца. Такой сдвиг называется круговым. Заметим еще, что сдвиг периодической последовательности x(nT) с периодом N на k^’>N отсчетов нельзя отличить от сдвига на (k’)_{mod N}=k<N отсчетов.

 

Получение спектра сигнала

 

Спектром временной зависимости (функции) x(t) называется совокупность ее гармонических составляющих (гармоник), образующих ряд Фурье.

Спектральный анализ периодических функций заключается в нахождение коэффициентов a_k, b_k ряда Фурье

, (2.6)

где f₁ -частота повторения (или частота первой гармоники), k -номер гармоники.

Коэффициенты ряда Фурье определяются выражениями

, (2.7)

, (2.8)

где T=1/f₁ -период повторения периодической функции x(t).

Для описания аналоговых и дискретных сигналов в частотной области используется аппарат преобразования Фурье. Спектром X_a(jw) аналогового сигнала x_a(t) называют прямое преобразование Фурье

. (2.9)

В свою очередь, согласно обратному преобразованию Фурье

. (2.10)

Пара преобразований для решетчатой функции (дискретной последовательности) x (nT) имеет вид:

; (2.11)

, (2.12)

где X(e^{j w T} ) называют спектром дискретного сигнала.

 

Свойства спектров дискретных сигналов.

 

1. Из (2.11) следует, что спектр X(e^{j w T} ) дискретной последовательности является периодической функцией по частоте w с периодом, равным частоте дискретизации:

; , k= 1, 2, 3, … Ясно, что также периодическим по частоте с периодом являются модуль спектра |X(e^{j w T} )| и фаза –аргумент arg X(e^{j w T} ).

Кроме того, для вещественных последовательностей x(nT), как следует из (2.11),

|X(e^{j w T} )|= |X(e^{-j w T} )|,

arg X(e^{j w T})= - arg X(e^{-j w T}),

т.е. модуль спектра вещественной последовательности является четной функцией, а аргумент – нечетной функцией частоты.

2. Очевидно свойство линейности преобразований Фурье.

3. При сдвиге спектра X(e^{j w T} ) последовательности x(nT) по оси частот вправо на величину w₁ получаем спектр Y(e^{j w T} )= X(e^{j( w-w1 )T} ). Этому спектру согласно (2.12) соответствует последовательность y(nT)=e^{j w1 nT} x(nT), и, следовательно, сдвиг спектра по оси частот соответствует умножению последовательности x(nT) на последовательность e^{j w1 nT} .

4. При сдвиге дискретного сигнала x(nT) вправо (т.е. при задержке по времени сигнала) на n₁ отсчетов получаем сигнал y(nT)=x(nT-n₁T) и согласно (2.11) спектр задержанного сигнала

Y(e^jwT)= e^-jwn1T X(e^jwT). (2.13)

5. Дискретный сигнал x(nT) и модуль его спектра | X(e^{j w T} )| связаны следующей зависимостью (теорема Парсеваля)

(2.14)

 

Теорема Котельникова

 

Аналоговый сигнал дискретизируется при помощи дискретизатора, т.е. амплитудно-импульсного элемента, реагирующего на дискретные равноотстоящие значения входного сигнала в моменты t=nT, n =0, 1, 2, … На выходе дискретизатора образуется последовательность выборок x(nT)≈x_a(t)|_t=nT. Наоборот восстановление аналогового сигнала x _a (t) по его дискретному представлению – последовательности выборок x(nT) – сводится к использованию различных интерполяционных процедур.

При выполнении некоторых условий, определяемых теоремой отсчетов (теоремой Котельникова), операции дискретизации и восстановления взаимно обратны. Согласно этой теореме: если аналоговый сигнал x _a (t) имеет ограниченный (финитный) спектр X _a(jw), т.е. такой, что X _a(jw)=0 при |w|>w₀ (условное изображение модуля спектра дано на рис.2.а), то такой сигнал можно однозначно представить последовательностью выборок x(nT), n =0, 1, 2, … при , где w_Д=2pf³2w₀.

При этом

, (2.15)

откуда следует, что сигнал x _a (t) можно получить, если пропустить последовательность x(nT) через идеальный (физически не реализуемый) аналоговый фильтр нижних частот с частотой среза и с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) | K (j w)|= T в полосе пропускания.

Спектр X(e^{j w T} ) последовательности x(nT), полученной в результате дискретизации с частотой аналогового сигнала x _a (t), и спектр X _a(jw) последнего связаны соотношением

(2.16)

т.е. спектр последовательности x(nT) равен с точностью до множителя сумме спектров соответствующего сигнала x _a (t), смещенных по оси частот на все возможные значения частоты, кратные частоте дискретизации .

На рис.2.2. б и в приведено условное изображение модуля спектра | X(e^jwT)| дискретного сигнала x(nT) соответственно для случаев w_Д³2w₀ и w_Д<2w₀. В первом случае спектр дискретного сигнала совпадает в интервале |w|≤|w₀| со спектром аналогового сигнала, а во втором случае имеет место явление наложения спектров, при этом спектр дискретизированного сигнала не совпадает в интервале |w|≤|w₀| с исходным спектром аналогового сигнала.

Таким образом, если аналоговый сигнал x_a(t) обладает финитным спектром X _a(jw) с частотой среза w₀, то он может быть без потери информации представлен последовательностью x(nT), полученной в результате дискретизации АС с частотой w_Д³2w_0. (2.17)

Наоборот по дискретному сигналу x(nT) может быть согласно (2.15) восстановлен аналоговый сигнал x _a (t).

Во многих случаях спектр X _a(jw) аналогового сигнала x _a (t) не содержит частоту w=0, а сосредоточен в некоторой полосе 0¹w_min≤w≤w_max<¥; таким является, например, спектр радиосигналов, модулированных по амплитуде или фазе. В этих случаях для точного представления аналогового сигнала последовательностью выборок условия (2.17) приводит к завышенным значениям необходимой частоты дискретизации; между тем достаточно выбрать частоту дискретизации , удовлетворяющую равенствам

(2.18)

где q =1, 2, …, E _ц , причем запись Е _ц[A] означает «целая часть числа А». Если частота дискретизации выбрана недостаточно высокой и (2.18) не удовлетворяется, то имеют место наложения смещенных спектров и в результате спектр X(e^{j w T} ) дискретного сигнала в диапазоне отличается от спектра аналогового сигнала X _a(j w), т.е. дискретизация аналогового сигнала приводит к потере информации.