разрешимые и -разрешимые группы

Определение 2.3.1. Пусть .

1) Группа называется - группой, если .

2) Группа называется - группой, если .

3) Группа называется -группой, если .

Замечание 2.3.1. Пусть .

1) Число называется -числом, если .

2) Число называется -числом, если .

3) Число называется d-числом, если ,

где .

Замечание 2.3.2. Если = , то - группа( - группа, d- группа) называется -группой (соответственно -группой, d-группой).

Замечание 2.3.3. Если = , то - число( - число, d- число) называется -числом (соответственно -числом, d-числом).

Определение 2.3.2. Подгруппа группы называется холловской -подгруппой, если — -число, — -число. Обозначается .

Теорема 2.3.1 (Холла). Пусть — конечная разрешимая группа, . Тогда:

1) В существуют холловские -подгруппы.

2) Всякая -подгруппа группы содержится в некоторой холловской -подгруппе группы .

3) Любые две холловские -подгруппы группы сопряжены в .

Определение 2.3.3. Конечная группа называется -разрешимой, где , если всякий главный фактор группы является либо -группой, либо абелевой -группой для некоторого .

2. Если , то -разрешимая группа, называется -разрешимой.

Теорема 2.3.2. Пусть .

1) Всякая подгруппа и факторгруппа -разрешимой группы является -разрешимой.

2) Если и -разрешимы, то -разрешима.

3) Если -разрешима и , то -разрешима.

Следствие 2.3.1. Пусть .

1) Всякая подгруппа и факторгруппа -разрешимой группы является -разрешимой.

2) Если и -разрешимы, то -разрешима.

Теорема 2.3.3 (Чунихина). Пусть — конечная -разрешимая группа, . Тогда:

1) В существуют холловские -подгруппы и холловские -подгруппы.

2) Всякая -подгруппа группы содержится в некоторой холловской -подгруппе группы ; всякая -подгруппа группы содержится в некоторой холловской -подгруппе группы .

3) Любые две холловские -подгруппы ( -подгруппы) группы сопряжены в .

Следствие 2.3.2. Пусть — конечная -разрешимая группа, . Тогда:

1) В существуют силовская -подгруппы и холловские -подгруппы.

2) Всякая -подгруппа группы содержится в некоторой силовских -подгруппе группы ; всякая -подгруппа группы содержится в некоторой холловские -подгруппе группы .

3) Любые две силовские -подгруппы (холловские -подгруппы) группы сопряжены в .

-свойства конечных групп:

1. Говорят, что группа обладает -свойством, если в существуют холловские -подгруппы. Группа называется -группой, если обладает -свойством. Теоремы о существовании в группе холловских -подгрупп называются -теоремами.

2. Говорят, что группа обладает -свойством, если обладает -свойством и любые две холловские -подгруппы группы сопряжены в . Группа называется -группой, если обладает -свойством. Теоремы о том, что любые две холловские -подгруппы группы сопряжены в , называются -теоремами.

3. Говорят, что группа обладает -свойством, если обладает -свойством и всякая -подгруппа группы содержится в некоторой холловской -подгруппе группы . Группа называется -группой, если обладает -свойством. Теоремы о том, что всякая -подгруппа группы содержится в некоторой холловской -подгруппе группы , называются -теоремами.

 

Заключение

 

В реферате были выполнены следующие задачи:

1. Рассмотрены определения разрешимой группы, -группы, -группы, d- группы, холловские -подгруппы, - разрешимой группы и другие.

2. Изучены основные свойства разрешимых групп.

3. Исследованы критерии разрешимости конечных групп.

4. Изучены -разрешимые и -разрешимые группы.

5. Рассмотрены -свойства конечных групп.

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск: ВГУ имени П.М. Машерова, 2012.

2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982.

3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. - М.: Физико-математическая литература, 2000.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.

6. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Физико-математическая литература, 2011.

7. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие. – Мн.: Вышэйшая школа, 2006.