Магнитная индукция – силовая характеристика магнитного поля!

Занятие 7

Тема: “Закон Био-Савара-Лапласа”

Преподаватель: Малацион Светлана Фиаловна

Цель занятия:

Усвоить фундаментальные понятия и законы электромагнетизма

Задача занятия:

Закрепить теоретический материал на тему “ Закон Био-Савара-Лапласа” на примере решения конкретных задач.

Компетенции, формируемые на занятии:

– способностью к кооперации с коллегами, работе в коллективе (ОК-3);

– способностью выявлять естественно-научную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий физико-математический аппарат (ПК-2);

Студент должен демонстрировать следующие результаты:

1) знать: основные физические законы электромагнетизма;

2 ) уметь: использовать для решения прикладных задач основные законы и понятия электромагнетизма;

3) владеть: навыками описания основных физических явлений и решения типовых задач.

Ключевые слова: Магнитное поле, линии магнитной индукции, магнитная постоянная, магнитная проницаемость среды, вектор магнитной индукции, вектор напряженности магнитного поля, правило правого винта, поле микро и макро токов, принцип суперпозиции магнитных полей, закон Био-Савара-Лапласа.

Основные понятия и законы

Магнитное поле – это силовое поле в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты.

Характерная особенность магнитного поля – магнитное поле создается только движущимися зарядами и действует только на движущиеся в этом поле заряды.

Характер воздействия магнитного поля на проводник с током зависит от: 1) формы проводника 2) расположения проводника 3) направления тока.

Для исследования магнитного поля пользуются контуром (рамкой с током),размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в пространстве определяется направлением нормали к контуру. Направление нормали определяется правилом правого винта: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего в рамке.

 

 

Рис. 1

Выбор направления магнитного поля. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к свободно подвешенной рамке с током (рис.1), или направление, совпадающее с направлением силы, действующей на северный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку (рис.2).

 

Рис. 2

Основные характеристики магнитного поля. На рамку с током в магнитном поле действует пара сил, которые создают вращающий момент М, зависящий как от свойств поля, так и от свойств рамки: [ ]. Здесь – вектор магнитного момента рамки с током, – вектор магнитной индукции. Модуль вектора вращающего момента определяется формулой: ,

где a – угол между нормалью к плоскости рамки и вектором В.

При , и .

Магнитный момент рамки с током – зависит от силы тока в контуре и площади контура: .

Здесь S – площадь поверхности рамки с током; – единичный вектор нормали к поверхности рамки. Вектор совпадает с направлением нормали. Модуль вектора магнитного момента: . Тогда - максимальный вращающий момент рамки с током.

Магнитная индукция. Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля

Магнитная индукция – силовая характеристика магнитного поля!

Линии магнитной индукции – линии, касательные к которым в каждой точке, совпадают с направлением вектора . Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током

Направление линий магнитной индукции определяется по правилу буравчика. Если ввинчивать буравчик по направлению вектора плотности тока в проводнике, то направление движения рукоятки буравчика укажет направление магнитных силовых линий (рис. 3).

Рис. 3

Вблизи проводника линии магнитной индукции лежат в плоскостях, перпендикулярных проводнику.

Магнитное поле соленоида, как видно из рис. 4, подобно полю полосового магнита.

 

 

Рис. 4

 

Поле макро- и микротоков. Вектор магнитной индукции характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое макро- и микротоками. Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности . Для изотропной однородной среды вектор магнитной индукции и вектор напряженности связаны следующим соотношением: . Здесь – напряженность магнитного поля, созданного макротоками; – магнитная постоянная ( Гн/м); – магнитная проницаемость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле, созданное макротоками () усиливается микротоками среды (в вакууме ).

Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету полей. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет найти вектор индукции магнитного поля, создаваемого малым линейным проводником с постоянным током (элементом тока): ,

где - вектор, численно равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током; - радиус-вектор, проведенный из элемента dl в рассматриваемую точку поля; (рис. 5); k – коэффициент пропорциональности, который в системе СИ равен ,

где m - безразмерная величина, характеризующая магнитные свойства среды и называемая относительной магнитной проницаемостью, для вакуума.

 

 

Рис. 5

Если учесть, что , то численное значение равно dB = .

Принцип суперпозиции. Магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности .

Магнитное поле прямого тока. Запишем закон Био-Савара-Лапласа в скалярном виде:

B = .

Ток течет по тонкому прямому проводу бесконечной длины. В качестве постоянной интегрирования выберем угол (рис. 6). Из треугольника АОВ видно, что AO = . Из треугольника АОС видно, что АО = ; Отсюда

 

dl = AO/ ; .

Рис. 6

Подставим полученные выражения для r и dl в формулу закона Био-Савара-Лапласа и запишем выражение для магнитной индукции поля прямого тока, текущего по проводу бесконечной длины.

dB = .

Проинтегрируем это выражение. Учтем, что угол 0 < a < π и получим следующую формулу для магнитной индукции поля прямого тока, текущего по проводу бесконечной длины:

; .

Магнитная индукция поля прямого тока, текущего по проводу конечной длины (рис. 7):

.

Здесь а – кратчайшее расстояние от провода с током до точки, в которой определяется магнитная индукция поля.

 

Рис. 7

Магнитное поле в центре кругового тока изображено на рис. 8.

Рис. 8

Все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали от витка. Сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Учтем, что , sin a = 1, r = R и получим выражение для магнитной индукции в центре кругового тока.

; ;

 

.

Основные формулы:

1) [ ]

2)

3) 4) 5) Гн/м)

6) , где , dB =

7) 8)

9) 10).

Аудиторные задачи

1. Используя закон Био-Савара-Лапласа, покажите, что напряженность магнитного поля бесконечно длинного проводника с током I равна .

2. Определить напряженность магнитного поля на оси кругового тока. Сила тока I, радиус витка R.

3. Найти напряженность магнитного поля в центре кругового проволочного витка с током радиусом R= 1 см, по которому течет ток I= 1 А.

4. На Рис. изображены сечения 2-х прямолинейных длинных проводников с токами. Расстояние между проводниками АВ = 10 см, токи I ₁ = 20 А и I ₂ = 30 А. Найти напряженность магнитного поля, вызванного токами в точках М₁, М₂ и М₃. Расстояния М₁А = 2см, АМ₂ = 4 см, ВМ₃ = 3 см

 

М₁ М₂ М₃

А В

5. Два прямолинейных бесконечных проводника расположены перпендикулярно друг другу и находятся во взаимно-перпендикулярных плоскостях. Найти напряженность Н ₁ и Н ₂ магнитного поля в точках М₁ и М₂, если токи I ₁ = 2 А и I ₂ = 3 А. Расстояние АМ₁ = АМ₂ = 1 см и АВ = 2 см.

6. Два прямолинейных проводника расположены параллельно на расстоянии d = 10 см друг от друга. По проводникам течет ток I ₁ = I ₂ = 5 А в противоположных направлениях. Найти модуль и направление напряженности магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии а = 10 см от каждого проводника.

7. Найти напряженность магнитного поля , создаваемого отрезком АВ прямолинейного проводника с током в точке С, расположенной на расстоянии а = 5 см от него. По проводнику течет ток I = 20 А. Отрезок виден из точки С под углом 60⁰.

8. Найти напряженность Н магнитного поля в центре кругового контура на расстоянии а = 3 см от его плоскости. Радиус контура R = 4 см, ток в контуре I = 2 А.

9. Напряженность магнитного поля в центре кругового витка Н₀= 0,8 Эрстед. Радиус витка R = 11 см. Найти напряженность Н магнитного поля на оси витка на расстоянии а = 10 см от его плоскости.

Домашнее задание

Контрольные вопросы

1. Что понимают под магнитным полем?

2. Назовите основные характеристики магнитного поля.

3. Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?

4. Что называется индукцией магнитного поля? Каково направление вектора ?

5. Связь индукции магнитного поля и напряженности магнитного поля?

6. Запишите закон Био-Савара-Лапласа, объясните его физический смысл, выполните соответствующий чертеж.

7. Найдите индукцию магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным проводником с током, отрезком с током.

8. Найдите индукцию магнитного поля в центре кругового витка с током.

 

Задачи

1. (В.11.12) Ток I =20А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением S =1 мм², создает в центре кольца напряженность магнитного поля H =178А/м. Какая разность потенциалов U приложена к концам проволоки, образующей кольцо?

 

2. (В.11.21) Бесконечно длинный провод образует круговой виток, касательный к проводу, по которому течет ток I =5А. Найти радиус витка R, если напряженность магнитного поля в центре витка Н _рез.=41А/м.

 

3. (В.11.10) Найти напряженность Н магнитного поля, создаваемого отрезком прямолинейного проводника с током I =30А, в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от него. Отрезок проводника виден из точки С под углом 90^о.

 

 

Дополнительно