Практическое занятие 9. Многочлены

Практическое занятие 7. Матрицы

Вопросы для повторения

1. Транспонирования матриц.

2. Операции сложения и вычитания матриц.

3. Операции умножения и возведения в степень матриц.

4. Понятие обратной матрицы.

Задача 74.

Найти сумму матриц:

, .

Решение:

Задача 75.

Даны три матрицы:

, , .

Найти матрицу .

Решение:

, , .

Задача 76.

Найти произведение матриц и :

1. , ;

2. , ;

3. , .

Ответ:

1. , ;

2. , ;

3. , .

Способ нахождения обратной матрицы

Пусть – невырожденная матрица. Припишем к ней справа (или слева) единичную матрицу . Далее с помощью элементарных преобразований над строками сдвоенной матрицы левая половина приводится к единичной матрице. Тогда сдвоенная матрица приобретает вид .

Задача 77.

Для матрицы найти обратную матрицу и проверить равенство .

Решение:

При описанном выше способе нет необходимости специально проверять невырожденность матрицы . Это будет вытекать из самой возможности приведения к .

Практическое занятие 8. Определитель и ранг матрицы

Вопросы для повторения

1. Определитель - го порядка.

2. Свойства определителей.

3. Правила нахождения определителей - го порядка.

4. Понятие ранга матрицы.

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

Метод Саррюса

Определитель матрицы третьего порядка представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых. Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы.

Знак «плюс» имеют произведение элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали.

Знак «минус» имеют произведение элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

С помощью формул разложения определителя матрицы по элементам строки или столбца вычисление определителя матрицы любого порядка сводится к вычислению определителей матриц второго или третьего порядков.

Задача 78.

Упростить выражение: .

Решение:

Задача 79.

Решить уравнение: .

Решение:

Задача 80.

Вычислить определитель: .

Решение:

Задача 81.

Для данной матрицы найти обратную

1. методом исключения:

2. методом присоединенной матрицы.

Решение:

;

2. ; .

Задача 82.

Решить матичное уравнение

1. методом исключения;

2. методом обратной матрицы.

Решение:

;

2. Введем обозначение , тогда уравнение запишется в виде . Умножив слева это уравнение на обратную матрицу , которая существует, поскольку .

Тогда .

Задача 83.

Вычислить определитель третьего порядка .

Решение:

Используя формулу Саррюса, получим:

Задача 84.

Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

Решение:

Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

Полученная матрица содержит две ненулевые строки, значит, ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.

Задача 85.

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров .

Решение:

Так как у матрицы A есть ненулевые элементы, то . Найдем какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким минором является, например .