Преобразование активных ветвей

Ветви, содержащие источники энергии, называются активными.

А. Последовательное соединение

Эквивалентная ЭДС равна алгебраической сумме ЭДС, находящихся в ветви. Например: E₁₂=E₂–E₁; r₁₂=r₁+r₀₁+r₂+r₀₂

 

Б. Параллельное соединение

Эквивалентное ЭДС и сопротивление эквивалентной ветви определяются:

, ,

где g_k – проводимость активных ветвей; g_i – проводимость всех параллельных ветвей.

=

.

В. Замена смешанного соединения активных ветвей одной эквивалентной

 

 

Преобразование источника тока и источника ЭДС

Параметры генераторов тока и напряжения, если они образуют один и тот же реальный источник, связанный между собой

;

=

.

 

 

Методы расчёта сложных цепей постоянного тока

При использовании законов Кирхгофа для расчёта сложных цепей сталкиваемся с необходимостью решения системы, число уравнений которой равно количеству ветвей.

Существует несколько способов упрощения расчета сложных цепей. Эти упрощения позволяют уменьшить число совместно решаемых уравнений системы.

 

Метод контурных токов

Согласно этапу методу, в каждый независимый контур цепи вводится условный (расчетный) ток, называемый контурным током, тогда ток в любой ветви цепи представляется в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих по этой ветви. Число уравнений системы в этом методе уменьшается до числа независимых уравнений, составляемых для данной цепи по второму закону Кирхгофа. Применение метода и порядок расчета показаны на примере.

Заданы следующие параметры элементов цепи (рис. 2):

E₁ = 30 В, E₂ = 10 В, E₃ = 200 В,

E₄ = 56 В, r₁ = 20 Ом, r₂ = 30 Ом, r₃ = 6 Ом,

r₄ = 8 Ом, r₅ = 15 Ом, r₆ = 40 Ом, r₇ = 10 Ом.

 

Рис. 2

Определить токи в ветвях методом контурных токов.

1. Намечаем в цепи независимые контуры и задаемся в них произвольно условно положительным направлением контурных токов:

I_a, I_b, I_c, I_d.

2. Составляем систему уравнений для контурных токов в соответствии со вторым законом Кирхгофа:

;

;

;

;

;

;

;

.

3. Решив полученную систему уравнений любым математическим способом, определим контурные токи I_a = 1 А, I_b = 5 А, I_c = 10 А, I_d = 2 А. Если контурные токи получаются отрицательными по величине, то это означает, что истинное направление противоположно выбранному.

4. Задаемся произвольными положительными направлениями токов, действующих в ветвях, и определяем их как алгебраическую сумму контурных токов. При этом если направление контурного тока и тока, действующего в ветви, совпадают, то при суммировании такой контурный ток следует брать со знаком «плюс», в противном случае – со знаком «минус». Если в ветви протекает только один контурный ток, то действующий в ветви ток будет равен контурному:

I₁ = I_a = 1 А, I₃ = I_c = 10 А, I₅ = I_b - I_a = 4 А,

I₂ = I_c - I_b = 5 А, I₄ = I_b - I_d = 3 А, I₆ = I_d = 2 А.

 

Метод наложения

Этот метод основан на принципе независимости действия ЭДС в линейных цепях. Согласно этому принципу, каждый источник ЭДС создает в ветвях цепи такие токи (частичные), какие создавал бы, если бы не существовало других источников ЭДС. С учетом выбранных положительных направлений ток, действующий в ветви, определяют как алгебраическую сумму частичных токов в этой ветви. Порядок расчета методом наложения рассмотрим на примере (рис. 3).

Заданы следующие параметры

элементов цепи: E₁ = 50 В, E₂ = 75 В, r₁ = 30 Ом,

r₄ = 50 Ом, r₅ = 60 Ом, r₃ = 30 Ом.

 

Рис. 3

Определить токи в ветвях методом наложения.
Для определения частичных токов целесообразно изображать цепь только с той ЭДС, которая создает эти токи.

А. Полагаем E₁ ≠ 0, E₂ = 0 (рис. 4).

Рис. 4

В этой цепи частичные токи можно определить, используя закон Ома. Направления частичных токов указаны на рис. 4.

Расчет цепи:

Ом,

,

,

I₄ = 0 А.

Б. Полагаем E₂ ≠ 0, E₁ = 0 (рис. 5). Направления частичных токов указаны на схеме; определяем значения токов: ;

; .

, где ,

т. к. r₁=r₃, то

Рис. 5 .

В. Выбираем условно положительное направление токов, действующих в ветвях (рис. 3), и, учитывая направление частичных токов, определяем токи в ветвях:

I₁=I₁’–I₁”=0,5А;

I₂ = – I₂’ + I₂” = 2,17А; I₄ = I₄” + I₄’ = 1,5А;

I₃ = I₃’ + I₃” = 1,167А; I₅ = – I₅’ + I₅” = 0,67А.

При этом получилось, что истинные направления токов совпадают с выбранными условно положительными направлениями.

Метод двух узлов

При расчете токов методом двух узлов вначале определяют напряжение между узлами, а затем по закону Ома для участка цепи находят токи в ветвях. Для схемы (рис. 6) заданы параметры элементов:

 

r₁ = 2 Ом, r₀₁ = 0,5 Ом,

E₁ = 100 В, r₂ = 4 Ом,

E₂ = 40 В, r₃ = 5 Ом,

E₄ = 10 В, r₄ = 20 Ом.

 

Рис. 6

Определить токи во всех ветвях методом двух узлов.

Порядок расчета:

А. Выбираем условное положительное направление напряжения, например, от узла «a» к «b», a его величину определяем по формуле:

.

ЭДС, направленные к узлу с большим потенциалом «a» (Е₁, Е₂), входят в формулу U_ab со знаком «плюс». Полученное при расчете положительное значение U_ab показывает, что истинное направление U_ab совпадает с условно положительным.

 

Б. Выбираем условно положительное направление тока в ветви. При выбранном направлении U_ab потенциал узла «а» выше потенциала узла «b» Поэтому направление тока пассивной ветви выбираем совпадающим с направлением U_ab. Токи активных ветвей возьмем направленными от узла «b» к узлу «а».

В. Определяем токи в ветвях по закону Ома:

;

;

;

.

Знак «минус» тока показывает, что его истинное направление в ветви противоположно выбранному.

Источник ЭДС работает в режиме генератора (разряд аккумулятора), если положительное направление тока в ветви совпадает с положительным направлением ЭДС этой ветви. Если же положительные направления тока в ветви и источника ЭДС не совпадают, то ЭДС работает в режиме двигателя (заряд аккумулятора).

Если в одну из ветвей схемы с двумя узлами включен идеальный источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого равно нулю, то узловое напряжение определяется только величиной этой ЭДС.