Корни многочленов от одной переменной, кратные корни. Область целостности. Производная многочлена от одной переменной, ее свойства. Способы нахождения кратности корня многочлена

Вопросы: 1. Коммутативное кольцо с единицей. 2. Кольцо многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом с единицей. 3. Степень многочлена. Свойства степеней многочленов. 4. Определение делимости многочленов нацело и с остатком. 5. Определение значения многочлена. Корень многочлена. 6. Теорема Безу. Схема Горнера. 7. Критерий корня. 8. Определение кратного корня многочлена. 9. Определение области целостности. 10. Определение и свойства производной многочленов. 11. Теорема о связи производной и кратности корня многочлена.

Пусть - коммутативное кольцо с единицей 1. Нуль этого кольца будем обозначать 0, элемент, противоположный к элементу , символом .

Кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами из кольца обозначается . Многочлен можно записать в стандартном виде: . Элементы из кольца являются многочленами, которые называют константами. Если , то многочлен имеет степень , которая обозначается . Степень константы, отличной от нуля, равна 0.

Степени многочленов обладают свойствами:

;

для любых многочленов .

Определение. Многочлен делится на многочлен в кольце , если найдется многочлен в этом кольце, что . Многочлен называется частным от деления.

Делимость многочлена на многочлен обозначается: .

Определение. Многочлен делится на многочлен в кольце с остатком, если найдутся многочлены и в этом кольце такие, что , причем .

Разделить один многочлен на другой можно «уголком».

Пусть , . Символом обозначается элемент кольца , который равен .

Определение. Элемент называется значением многочлена при .

Определение. Элемент называется корнем многочлена , если выполняется равенство: .

Следующая теорема названа в честь французского математика Этьенна Безу (1730-1783).

Теорема. Остаток от деления многочлена на многочлен , где , равен .

Деление многочлена на многочлен может быть осуществлено по схеме Горнера. (Метод назван в честь английского математика Уильяма Джорджа Горнера (1786-1837).) При этом находится частное от деления и остаток (значит, и значение функции ).

Схема Горнера: если

,

то

				…
				…

 

Из теоремы Безу получаем следующий критерий корня многочлена.

Теорема. Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда .

Определить, является ли элемент корнем многочлена можно, используя по схеме Горнера.

Определение. Корень многочлена называется корнем кратности , где , если и . Если , то корень называют простым корнем многочлена .

Определить кратность корня можно, используя схему Горнера.

Далее от кольца будет требовать большего, чем было заявлено раннее, а именно, - область целостности характеристики 0.

Определение. Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостностью.

Определение. Кольцо с единицей 1 называется кольцом характеристики 0, если для любого справедливо неравенство: .

Пусть .

Определение. Производной многочлена называется многочлен из кольца такой, что .

Будем рассматривать кольца характеристики 0.

Очевидно, что .

-я производная многочлена определяется правилом: .

Верны равенства: ; ; ; для любых многочленов , и .

Теорема. Пусть - корень многочлена , кратности . Тогда - корень многочлена , кратности .

Используя эту теорему также можно определять кратность корня многочлена.