Числовые характеристики системы двух непрерывных случайных величин.

Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

 

Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек:

Предположим, что из этих случаев благоприятны событию , а – событию . Тогда

Так как события и несовместимы, то нет таких случаев, которые благоприятны и , и вместе. Следовательно, событию благоприятны случаев и

Подставляя полученные выражения в формулу (3.2.1), получим тождество. Теорема доказана.

Основные законы распределения случайных величин.

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно пере-

перечислить все ее возможные значения. В действительности

это не так: случайные величины могут иметь одинако-

одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их —

различные. Поэтому для задания дискретной случайной

величины недостаточно перечислить все возможные ее

значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и

их вероятностями; его можно задать таблично, аналити-

аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискрет-

дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит

возможные значения, а вторая — их вероятности:

X xt xt... хп

Р Pi Pt '•• Рп

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная

величина принимает- одно и только одно возможное зна-

значение, заключаем, что события X — xlt X = xa,..., X = хп

образуют полную группу; следовательно, сумма вероят-

вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй

строки таблицы, равна единице:

Если множество возможных значений X бесконечно

(счетно), то ряд р1-\-р1 +... сходится и его сумма равна

единице.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгры-

Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти

закон распределения случайной величины X — стоимости возможного

выигрыша для владельца одного лотерейного билета'.

Решение. Напишем возможные значения X: *1 = 50, хг—\,

х3 = 0. Вероятности этих возможных значений таковы: р1 = 0,01,

р„ = 0,01, Рз=1-(р1 + Р4)=0,89.

Напишем искомый закон распределения:

X 50 10 0

р 0,01 0,1 0,89

Числовые характеристики системы двух непрерывных случайных величин.

Пусть даны две случайные величины X и Y. Наиболее

полную характеристику их связи дают либо условные функ-

ции распределения F (x/y), F (y/x), либо условные плотности

ρ (x/y), ρ (y/x). Иногда достаточны менее полные характеристи-

ки, но более просто определяемые. К таким и относятся услов-

ные математические ожидания или функции регрессии одной

случайной величины на другую.

Для дискретных случайных величин X и Y условные ма-

тематические ожидания мы определили в подразделе 3.1. Для

непрерывных величин полагают:

M [ X/Y = y ] =

_ + ∞

−∞

xρ (x/y) dx, (3.18)

M [ Y/X = x ] =

_ + ∞

−∞

yρ (y/x) dy.

Условное математическое ожидание M [ X/Y = y ], как это сле-

дует из (3.18), есть некоторая функция ψ (y) аргумента y. Её

называют функцией регрессии случайной величины X на слу-

чайную величину Y. График функции x = ψ (y) называют кри-

вой регрессии случайной величины X на Y. Соотношение (3.19)

определяет функцию ϕ (x), называемую функцией регрессии Y

на X, а её график называют кривой регрессии Y на X.

Функции ϕ (x) и ψ (y) дают представление о виде зависимо-

сти случайных величин X и Y. Графики этих функций получа-

ются при экспериментальном исследовании вида зависимости

двух случайных величин.

Если случайные величины X и Y независимы, то кривые

регрессии являются прямыми, параллельными осям координат,

пересекающимися в точке (mx,my).

Для характеристики степени отклонения эксперименталь-

ных точек от кривой регрессии применяют условные диспер-

сии, определяемые для непрерывных величин соотношениями