Краткие сведения из теории

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

Краткие сведения из теории

Центром тяжести тела называется точка приложения его силы тяжести.

Для нахождения положения центра тяжести используют следующие способы:

1 Метод симметрии. У однородного тела, имеющего плоскость, ось или центр симметрии, центр тяжести находится соответственно в плоскости, на оси или в центре симметрии.

2 Метод разбиения на части. Если тело имеет сложную форму, его разбивают на части, положения центров тяжести которых известны (формулы для расчета площадей и координат центров тяжести некоторых плоских фигур приведены в таблице 6.1). В таком случае положения центров тяжести тела определяют с использованием следующих выражений.

Координаты центра тяжести объемного тела постоянной плотности находятся по формулам

; ; ,

где – координаты центров тяжести элементарных частей,

– объем i -й части.

Если тело представляет собой однородную пластину постоянной толщины, то координаты ее центра тяжести

; , (6.1)

где – площадь i -го элемента.

Для стержневых конструкций, образованных стержнями одинаковой плотности и постоянного поперечного сечения, координаты центра тяжести определяют по формулам

; ; ,

где – длина элемента линии.

3 Метод отрицательных сил тяжести. При нахождении положения центра тяжести тела, имеющего вырезы, полости, отверстия и т. п., используют метод разбиения на части, причем считается, что полости (их площади, объемы) имеют отрицательный вес.

 

Таблица 6.1 – Площади и координаты центров тяжести плоских фигур

Наименование	Расчетная схема	Площадь	Координаты центра тяжести
Круг
Прямоугольник
Треугольник			;
Круговой сектор

6.2 Пример решения задачи

Дано: схема плоской фигуры (рисунок 6.1). Размеры указаны в сантиметрах.

Определить координаты центра тяжести изображенной на рисунке пластины.

Решение.

1 Чтобы найти площадь заштрихованной фигуры, нужно от суммы площадей полукруга, сектора (четверти круга) и треугольника отнять площадь выреза (прямоугольника). Обозначим эти элементы цифрами, как это показано на рисунке 6.2, и укажем расположение их центров тяжести .

2 Начало координат поместим в центре круга, а оси координат Ox и Oy направим горизонтально и вертикально.

3 Площадь полукруга и координаты его центра тяжести находим по формулам для кругового сектора из таблицы 6.1, учитывая, что α = π/2 рад:

4 Для нахождения площади и координат центра тяжести С ₂ сектора 2 также воспользуемся таблицей 6.1. Размеры этого сектора определяются углом рад. Поэтому

.

Рисунок 6.2

5 Центр тяжести прямоугольного равнобедренного треугольника 3 находится на пересечении его медиан (в точке ). Медиана ОМ является также и высотой, поэтому

Тогда площадь и координаты центра тяжести треугольника 3:

Рисунок 6.2

6 Найдем площадь и координаты центра тяжести прямоугольника. Так как он является вырезом, его площадь берем со знаком “–”. Центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей. Следовательно,

7 Координаты центра тяжести рассматриваемой пластины определяем по формулам (6.1):

7 По результатам расчета изображаем на рисунке точку С, являющуюся центром тяжести пластины.

Условие задания С-6