Зависимость погрешностей от значения измеряемой величины.

В зависимости от вида функции преобразования прибора (преобразователя) его общая погрешность и ее составляющие различным образом зависят от значения измеряемой величины. Рассмотрим эти зависимости при разных функциях преобразования .

I. Зависимость Δ(X) и σ(X) при линейной функции Y = SX (Аддитивная и мультипликативная погрешности. Порог чувствительности)

Как уже отмечалось, функция преобразования вида присуща большинству измерительных приборов. При этом результирующая погрешность на выходе прибора (в единицах выходной величины ) может возникать:

– во-первых, за счет аддитивного наложения на входную измеряемую величину некоторой малой неконтролируемой величины (например, шумы или наводки);

– во-вторых, из-за наличия аналогичной величины на выходе прибора — например, в случае дискретного характера (квантования) выходного сигнала (входной сигнал обычно имеет неправильный (аналоговый) характер);

– в третьих, за счет малых неконтролируемых изменений (нестабильности) чувствительности

Причем , , . С учетом этих факторов значение на выходе, очевидно, будет отличаться от теоретического значения на величину :

(1)

(В (1) слагаемым , имеющим более высокий порядок малости, пренебрегли). Из (1) следует, что результат измерения величины может быть представлен в виде

(2)

Здесь — абсолютная погрешность измерения, выраженная, как и полагается, в единицах , и состоящая из двух слагаемых: первое из них называется аддитивной погрешностью (от add – прибавлять) поскольку она, как видим, суммируется с и не зависит от него. Второе слагаемое называется мультипликативной погрешностью (от multiply – умножать), так как оно определяется умножением измеряемого значения на относительную погрешность чувствительности

(3)

Таким образом, в случае линейной функции преобразования абсолютная погрешность измерения

(4)

в общем случае состоит из суммы аддитивной и мультипликативной погрешностей. Первая из них не зависит от измеряемой величины, а вторая — пропорциональна ей (рис 1а). При этом важно отметить, что так ведут себя в зависимости от абсолютные (размерные) значения этих погрешностей.

Поскольку с увеличением возрастает общая погрешность , может показаться, что с ростом измеряемой величины точность измерения будет уменьшаться. Однако, согласно (4) относительная погрешность , характеризующая, как известно, точность измерения, равна

, (5)

Из (5) следует два важных вывода. Во-первых, при представлении погрешности в относительном (безразмерном) виде , ее мультипликативная составляющая становится равной погрешности чувствительности , которая не зависит от значения измеряемой величины , а аддитивная составляющая оказывается обратно пропорциональной (рис. 1б).

Во-вторых, при линейной функции преобразования точность измерения повышается с увеличением измеряемой величины. Отсюда практическая рекомендация: при линейной функции преобразования в целях повышения точности измерения следует выбирать диапазон измерений так, чтобы предполагаемое значение измеряемой величины находилось как можно ближе к верхнему приделу шкалы прибора. Из (4), (5) и рис. 1 видно, что при больших значениях измеряемой возрастает вклад мультипликативной составляющей в общую погрешность, и, наоборот, при малых основную часть погрешности составляет аддитивная погрешность.

На практике погрешности измерения конкретным прибором обычно бывают заданы лишь в виде некоторых допустимых (предельных) значений или со знаком .

Например, в техническом описании серийно выпускаемого цифрового частотомера (с линейной функцией преобразования) может быть указано, что основная погрешность измерения частоты не превышает значения, которое может быть задано либо в абсолютных значениях:

, (6)

где первое слагаемое — аддитивная, а вторая — мультипликативная погрешность, либо в относительных значениях:

, (7)

где вначале указана погрешность чувствительности (мультипликативная), а за ней относительная аддитивная составляющая. Разумеется, в конечном экземпляре такого частотомера или при конкретном измерении погрешность может быть меньше указанного предела.

С учетом такой неопределенности задания погрешности выходную величину следует считать связанной с входной величиной соотношением , где увеличивается с ростом из-за мультипликативной составляющей. При этом вместо номинальной зависимости в виде прямой линии получается расширяющаяся полоса шириной (рис. 2), характеризующая зону неопределенности измерений, т. е. неопределенности наших знаний о действительном значении .

Поскольку минимальная ширина этой полосы равна , ясно, что значение измеряемой величины прибор не сможет достоверно отличить от нуля. Таким образом, минимально различимым значением, на которое достоверно реагирует прибор, является . Это значение, определяемое аддитивной погрешностью, называется порог чувствительности данного прибора.

 

 

Погрешность квантования

Измерительные приборы с дискретной (квантованной) формой выходной величины, к которым относятся цифровые приборы, имеют ступенчато-линейную функцию преобразования . Размер ступени определяется шагом квантования выходной величины . При этом разным значениям непрерывной измеряемой величины соответствуют дискретные значения выходной величины . При этом показания прибора тоже будут дискретны с шагом квантования , где — чувствительность линейной функции , которая имела бы место при . Отклонение ступенчатой функции преобразования от линейной приводит к появлению погрешности квантования, зависимость которой от измеряемой величины имеет пилообразный вид (рис 5а, б, в).

Из рис. 5 видно, что существует три разновидности квантования выходной величины :

В первом случае значение , соответствующее зависимости заменяется дискретным значением , равным ближайшему уровню квантования. Несовпадение и будет определять погрешность квантования. Из рис. 5а видно, что значения погрешности квантования лежат в пределе от до . При этом все значения равновероятны и математическое ожидание такой погрешности равно 0. Из этого следует, что в этом случае погрешность квантования есть чисто случайная погрешность с равномерным распределением.

Во втором случае непрерывные значения заменяются на , соответствующие нижнему ближайшему уровню. Из рис. 5б видно, что погрешность квантования в этом случае лежит в пределе от до 0 и ее математическое ожидание равно . Видим, что в отличие от первого случая при данном способе квантования систематическая составляющая погрешности не равна нулю, а случайная, равномерно распределенная составляющая лежит в прежнем пределе .

В третьем случае отожествляется — ближайшим верхним уровнем. Из рис. 5в видно, что погрешность квантования находится в интервале , ее систематическая составляющая равна , а случайная составляющая такая же, как и в двух предыдущих случаях.

Приведенная погрешность

 

Приведенная погрешность есть отношение предела допустимой погрешности к нормированному значению :

, (1)

Возможны несколько случаев определения нормированного значения:

1. Если нулевое значение шкалы (X = 0) расположено либо на краю, либо за пределами диапазона измерений, то за нормированное значение принимают максимальное значение диапазона измерений: . Например, если диапазон измерений вольтметра от 0 до 100 В, то

2. Если нулевое значение находится внутри диапазона измерений, то . Например, если диапазон измерений вольтметра: , то .

3. Если существует номинальное значение измеряемой величины , то . Например, для частотомера сетевого напряжения нормированная частота .

4. Если шкала не ограничена (например, при измерении сопротивления омметром со шкалой от 0 до ), то , где L — длина шкалы в мм. При этом надо выразить в мм.

По стандарту приведенная погрешность (1) должна выражаться в виде: , где p = 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5;6; а n = 1; 0; -1; -2; …

Например, если отношение , то , если , то

АЦП (аналого-цифровой преобразователь), он преобразует аналоговое напряжение в цифровой код, на выходе получается унитарный (единичный) код. Унитарный код имеет только один символ — единицу. Число задается количеством этих единиц. Счетчик импульсов преобразует унитарный код в четырехразрядный двоичный код для каждого разряда, т. е. в двоично-десятичный код. Сигнал на выходе дешифратора может быть разным, его вид зависит от используемого индикатора (анодно-символьный, семи сегментный или матричный). ЦОУ — это цифровое отсчетное устройство

 

1. Период развертки осциллограммы должен быть кратен периоду исследуемого сигнала . Если условие кратности нарушится, т. е. число не будет целым, то осциллограмма будет непрерывно сдвигаться.

 

Терморезисторный метод

Терморезисторный метод основан на изменении сопротивления терморезистора при нагревании измеряемой мощностью. Температурный коэффициент

(4)

Чувствительность по мощности

(5)

Металлы обладают , >0 а полупроводники — , <0 и .

У полупроводников и менее стабильные по сравнению с металлами и обладают высокой инерционностью (0,1…1с), т. е. по сравнению с металлами.

Металлические терморезисторы называются балометрами (рис. 3). Их конструктивные размеры должны быть меньше длины волны измеряемого сигнала. Болометры бывают тонкопленочные. Термисторы — это полупроводниковые чувствительные элементы.