Наближене відновлення внутрішньої структури об'єкта методом комп'ютерної томографії.

Важливим є застосування операторів інтерлінації та інтерфлетації до розв'язання радонівської задачі комп'ютерної томографії. Тут на їхній основі вдалося побудувати оператори інтерполяції на фіксованій системі вузлових точок інтерполяції із даними коефіцієнтами Фур'є до фіксованого порядку. Деякі з цих коефіцієнтів Фур'є фактично є проекціями, що надходять на спецпроцесор з комп'ютерного томографа. В монографії О.М.Литвина [8,гл.5] висвітлено деякі положення цього методу для двовимірного випадку.

 

Цифрова обробка сигналів.

Одним з перспективних напрямків застосування операторів сплайн-інтерлінації та сплайн-інтерфлетації є цифрова обробка сигналів. В основу такого застосування покладено побудову економних кубатурних формул для наближеного обчислення коефіцієнтів Фур'є функцій багатьох змінних. Ці формули для досягнення потрібної точності у двовимірному випадку вимагають на порядок меншої кількості експериментальних даних, ніж методи, в яких використовуються класичні сплайни. В монографії О.М.Литвина [8,гл.6] висвітлено цей підхід для двовимірного випадку

 

Оператор інтерлінації функції на двох прямих.

Оператор має такі властивості:

При цьому справедлива тотожність ,

.

 

Оператор інтерлінації функції на трьох прямих.

Оператор

має такі властивості:

При цьому, якщо , то для залишку справедлива рівність

Така формула інтерлінації може знайти застосування, наприклад, якщо треба задовольнити неоднорідні граничні умови у нестаціонарній задачі теплопровідності.

Оператор інтерлінації функції на чотирьох прямих.

Оператор

має властивості

При цьому для залишку справедлива рівність

Тобто оператор точно відновлює всі функції, які задовольняють умову

Якщо , то

,

Оператор поліноміальної інтерлінації функції на взаємно перпендикулярних лініях.

Оператор

має такі властивості .

є оператором поліноміальної інтерлінації функції двох змінних за змінною .

Оператор

має такі властивості

є оператором поліноміальної інтерлінації функції двох змінних за змінною .

Оператор

є оператором поліноміальної інтерполяції Лагранжа.

Оператор

є оператором поліноміальної інтерлінації на системі взаємно перпендикулярних прямих.

Приклад 1. Побудувати оператори інтерлінації функції двох змінних (табл. 2.2) при заданих слідах цієї функції на:

а) двох прямих ;

б) трьох прямих ;

в) чотирьох прямих ;

г) системі взаємно перпендикулярних прямих , розбиваючи область наближення на 100 рівних прямокутників

Таблиця 2.2

x1	x2	y1	y2

 

Розв'язування.

1. Побудуємо оператор інтерлінації функції двох змінних за відомими слідами на двох прямих .

Експериментальними даними є . Звідси витікає, що .

Оператор інтерлінації на двох лініях має вигляд

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.

 

2. Побудуємо оператор інтерлінації функції двох змінних за відомими слідами на трьох прямих .

Експериментальними даними є

.

Звідси витікає, що .

Оператор інтерлінації функції двох змінних на трьох прямих має вигляд

.

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.

 

3. Побудуємо оператор інтерлінації функції двох змінних за відомими слідами на чотирьох прямих .

Експериментальними даними є

, ,

.

Звідси витікає, що

,

.

Оператор інтерлінації на чотирьох прямих має вигляд:

Побудований оператор наближує функцію точно, тобто похибка дорівнює нулю.