Порядок проведения статистических измерений

Метрология

Задача 3

Тема: Статистическая обработка результатов многократных измерений

Теоретическая часть

Статистическая обработкарезультатов многократныхизмерений основывается на использовании большого объёма практически полученной апостериорной информации.

Цель статистической обработки результатов измерений: получить более достоверную информацию о том, в каких границах можно ожидать появление измеряемой случайной физической величины (например: измеряемого размера).

При этом решаются три задачи:

оценивание области неопределённости исходных экспериментальных данных;

нахождение более точного усреднённого результата измерений;

оценивание погрешности этого усреднённого результата, то есть нахождение более узкой области неопределённости числового появления размера.

 

Определения

Статистическая обработка результатов измерений – заключается в определении границ доверительного интервала в размерном ряду, в которых может появиться ожидаемый размер объекта измерения.

Апостериорная информация – та, которая получена путём проведения практических измерений.

Доверительный интервал – границы числового ряда значений случайной величины, внутри которых с определённой вероятностью будет находиться математическое ожидание этой случайной величины. Для закона нормального распределения случайных величин эти границы расположены симметрично их среднему арифметическому значению (например, измеряемый диаметр деталей круглой формы: его размер – это случайная величина).

Доверительная вероятность – вероятность, соответствующая этому доверительному интервалу.

Число степеней свободы – для закона нормального распределения случайных величин это – число интервалов в диапазоне рассеивания размеров минус 3 (три вычисляемых с помощью этих расчётов величины).

Диапазон рассеивания размеров – разность между максимальным и минимальным размерами.

Интервалы в диапазоне рассеивания размеров – отрезки оси размеров, делящие диапазон рассеивания на равные части.

Случайная величина – которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известное заранее (например, измеряемый диаметр одинаковых деталей круглой формы).

Дискретная величина – случайная величина, которая может принять только раздельное, отделенное от соседних величин из размерного ряда значение величины (например, возможное число очков при бросании во время игры в кости).

Действительная величина – числовой результат измерения.

Выборка – некоторое небольшое количество измерений, проделанное для того чтобы по их результатам судить о более полном диапазоне рассеивания измеренной величины.

Гистограмма – график, в прямоугольных осях «частость – диапазон рассеивания измеренных значений», состоящий из вертикальных прямоугольников различной высоты и эмпирической ломаной кривой, соединяющей серединки верхних перекладин прямоугольников, отображающей закон распределения измеряемых случайных величин.

 

Порядок проведения статистических измерений

В некотором количестве одинаковых измерений одной и той же физической величины размерные значения несколько отличаются друг от друга.

Если количество измерений в выборке невелико, то для определения доверительного интервала более полного разброса их значений необходимо провести статистическую обработку результатов измерений.

Статистическая обработка результатов измерений производится следующим образом.

1) Располагают полученные в процессе N измерений действительные значения x_i в порядке возрастания их величины и тем самым получают ранжированный ряд случайных дискретных величин: x₁; x₂ …x_N.

2) Диапазон рассеивания R определяется как разность между максимальной x_{i max} и минимальной x_{i min} величинами действительных значений измерений:

 

R = x_{i max} – x_{i min}.

 

3) Полученное значение диапазона рассеивания разбивают на k интервалов (рекомендуется 7 – 12 интервалов. При малых выборках число интервалов равно числу групп одинаковых значений измерений). Задавшись числом интервалов, рассчитывают дискретный шаг интервалов по формуле:

 

p = R/k.

 

4) Для каждого интервала подсчитывают число измерений n_j, имеющих величину, находящуюся в пределах границ этого интервала, среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала, а также частость числа измерений n_j /(N – 1) в данном интервале.

Результаты измерений и расчётов заносят в таблицу 1.

 

Таблица 1 – Пример записи значений случайной величины при N=9 и k=5

 

Номер измерения
xi(итое)
(житое)
nj(житое)
nj /(N – 1)	1/8	2/8	3/8	1/8	2/8

 

где x_i –значение i-того измерения;

– среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала:

.

5) По экспериментальным данным строят гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения значений случайной величины. Масштаб гистограммы выбирают таким, чтобы её высота относилась к основанию примерно как 5:8.

6) Определяют среднее арифметическое значение всех замеренных действительных значений величин:

.

 

7) Рассеяние значений случайных величин в выборке из N измерений относительно эмпирического (опытного, практического) группирования их по интервалам характеризуется уточнённым эмпирическим средним квадратическим отклонением, которое определяется по формуле:

 

= ,

8) По результатам выборки устанавливают границы, внутри которых с определённой вероятностью будет находиться математическое ожидание F(x) случайной величины x. Эти границы определяют доверительный интервал, который зависит от доверительной вероятности β. В общем случае при малой выборке и различной доверительной вероятности доверительный интервал в своих меньшей и большей границах выразится следующими неравенствами:

 

F(x) ,

где - среднее квадратическое отклонение для распределения средних арифметических величин:

;

t_δ – критерий Стьюдента, который для β=0,9 (90% доверительная вероятность) при данном числе степеней свободы К (приведён в таблице 2).

Таблица 2 – Критерий Стьюдента при доверительной вероятности β=0,9 и данном числе степеней свободы К

К	15 – 16		18 – 20	21 – 22	23 – 27	28 – 30
tδ	1,75	1,74	1,73	1,72	1,71	1,70

 

9) Сравнивают границы доверительного интервала с допуском на размер (если он задан в условии задачи) и делают вывод о годности всей партии деталей.

10) Ответом на решение задачи является доверительный интервал с указанием величин его меньшей и большей границ.

Условие задачи

В партии одинаковых деталей у каждой из них измеряется один и тот же размер. Так как количество деталей в выборке для измерений невелико, то для определения доверительного интервала более полного разброса значений размера необходимо провести статистическую обработку результатов измерений.

Изготовлена партия круглых стержней и из неё сделана выборка в количестве N штук. Измерен диаметр каждого стержня d₁, d₂…d_N. Для определения годности деталей при изготовлении большей по количеству партии необходимо построить гистограмму и провести статистическую обработку результатов измерений.

Исходные данные:N=8 штук; d 0,15мм – номинальный диаметр стержня и допуск на изготовление (по чертежу).

Требуется:

произвести и занести измеренные значения случайных величин в таблицу;

построить гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения размеров стержней в партии;

определить доверительный интервал значений измерений диаметров стержней;

сделать заключение о годности всей партии стержней путём сравнения границ доверительного интервала с величиной поля допуска номинального размера.

Варианты номинальных диаметров стержней и результатов измерений выборки из партии выбираются по последней цифре учебного шифра из таблицы 3.

Таблица 3 – Варианты номинальных диаметров стержней деталей и результатов измерений выборки из партии (выбираются по последней цифре учебного шифра), мм

№вар ианта	d	Номер и результат измерения
d1	d2	d3	d4	d5	d6	d7	d8
		24,85	24,90	24,90	25,02	25,02	25,10	25,10	25,10
		27,86	27,91	27,91	28,10	28,10	28,15	28,15	28,15
		31,87	31,92	31,92	32,05	32,05	32,12	32,12	32,12
		39,88	39,93	39,93	40,07	40,07	40,13	40,13	40,13
		44,89	44,94	44,94	45,08	45,08	45,14	45,14	45,14
		49,85	49,90	49,90	50,01	50,01	50,15	50,15	50,15
		55,86	55,91	55,91	56,02	56,02	56,10	56,10	56,10
		62,87	62,92	62,92	63,03	63,03	63,12	63,12	63,12
		70,88	70,93	70,93	71,06	71,06	71,14	71,14	71,14
		79,89	79,94	79,94	80,07	80,07	80,15	80,15	80,15

 

Таблица 3 (продолжение) - Варианты номинальных диаметров стержней деталей и результатов измерений выборки из партии (выбираются по последней цифре учебного шифра), мм

№вар ианта	d	Номер и результат измерения
d9	d10	d11	d12	d13	d14	d15	d16
		24,86	24,89	24,99	25,03	25,04	25,03	25,11	25,11
		27,88	27,90	27,99	28,01	28,03	28,05	28,14	28,13
		31,89	31,91	32,02	32,03	32,05	32,02	32,13	32,14
		39,87	39,92	39,98	40,03	40,02	40,03	40,14	40,12
		44,88	44,93	44,98	45,01	45,03	45,04	45,13	45,11
		49,86	49,91	49,97	50,02	50,04	50,03	50,16	50,16
		55,87	55,92	55,99	56,03	56,01	56,05	56,12	56,13
		62,88	62,93	62,98	63,04	63,02	63,01	63,13	63,14
		70,87	70,91	70,97	71,04	71,03	71,01	71,15	71,15
		79,87	79,93	79,99	80,01	80,02	80,04	80,16	80,12

Пример решения задачи 3

Условие задачи

По чертежу изготовлена партия круглых стержней, имеющих диаметр 12 1,5мм, и из неё сделана выборка в количестве 5 штук. Измерен диаметр каждого стержня: 10,5мм – 1шт.; 11мм – 1шт.; 11,5 – 1шт.; 12мм – 1шт.; 13мм – 1шт.

Определить годность всей партии деталей по заданной выборке, для чего сделать следующее:

построить гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения размеров стержней в партии;

провести статистическую обработку результатов измерений: определить доверительный интервал значений измерений диаметров стержней и сделать заключение о годности всей партии стержней путём сравнения границ доверительного интервала с величиной поля допуска номинального размера.

 

Исходные данные:N=5 штук; номинальный диаметр d=12мм; IT_q=3 мм; es=1,5мм; ei=-1,5мм; d_min=d₁=10,5мм; d₂=11мм; d₃=11,5мм; d₄=12мм; d_max=d₅=13мм.

Решение

1. Располагаем полученные в процессе 5 измерений действительные значения d_i в порядке возрастания их величины в ранжированный ряд случайных дискретных величин: 10,5; 11; 11,5; 12; 13.

2. Диапазон рассеивания R определяется как разность между максимальной d_max=13мм и минимальной d_min=10мм величинами действительных значений измерений:

 

R = d _max – d _min =13 –10=3 мм.

 

3. Полученное значение диапазона рассеивания разбиваем на 4 интервала по числу групп одинаковых размеров и рассчитываем дискретный шаг p (мм) интервалов по формуле:

 

p = R/k =3/4=0,75.

 

4. Для каждого интервала подсчитываем число измерений n_j, имеющих величину, находящуюся в пределах границ этого интервала, а также частость числа измерений n_j /(N – 1) в данном интервале.

Результаты измерений и подсчётов заносим в таблицу 4.

 

Таблица 4 – Пример записи значений случайной величины при N=5 и k=4

 

Номер измерения
di(итое)	10,5		11,5
dj(житое)	10,5	11,25
nj(житое)
nj /(N – 1)	0,25	0,5	0,25	0,25

 

где d_i – измеренное значение i-той детали;

d_j – среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала;

n_j /(N – 1) – частость числа измерений в данном интервале (доли от единицы или проценты).

 

5. По экспериментальным данным строят гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения значений случайной величины.

Гистограмма – график, в прямоугольных осях «частость – диапазон рассеивания измеренных значений», состоящий из вертикальных прямоугольников различной высоты и эмпирической ломаной кривой, соединяющей серединки верхних перекладин прямоугольников, отображающей закон распределения измеряемых случайных величин.

Интервалы в диапазоне рассеивания размеров – отрезки оси абсцисс, делящие диапазон рассеивания на равные части.

Диапазон рассеивания размеров – разность между максимальным и минимальным размерами.

Построение гистограммы проводят следующим образом.

1) Длина оси абсцисс на рисунке может составлять примерно три четверти ширины страницы. Выбирают масштаб оси абсцисс: диапазон рассеивания R размеров может занимать на оси абсцисс чуть больше трёх четвертей её длины. Масштаб в этом случае:

 

М_{абсцисс}=R (мм)/ длина оси абсцисс на графике (см).

 

2) Высота оси ординат на рисунке может составлять примерно 5/8 от длины оси абсцисс. Выбирают масштаб оси ординат: максимальная величина частости может занимать примерно три четверти высоты оси ординат. Масштаб в этом случае:

 

М_{ординат}= n_j /(N – 1)_max / высота оси ординат на графике (см).

 

3) На середине оси абсцисс отмечают точку, соответствующую серединке перекладины прямоугольника, обозначающего интервал значений измеряемой величины, в котором находится номинальное значение. Вправо и влево откладывают минимальное и максимальное значения и отрезок оси между ними делят на количество интервалов.

4) Над каждым интервалом строят прямоугольник, соответствующий величине рассчитанной частости. Строят эмпирическую ломаную кривую, соединяя верхние серединки перекладин.

Рисунок – Пример построения гистограммы

6. Определяют среднее арифметическое значение всех замеренных действительных значений величин:

 

7. Рассеяние значений случайных величин в выборке N относительно эмпирического (опытного) группирования их по интервалам характеризуется уточнённым эмпирическим средним квадратическим отклонением, которое определяется по формуле:

= =1,04мм,

 

где – среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала:

=10,5; 11,25; 12; 13мм.

8. По результатам выборки устанавливают границы, внутри которых с определённой вероятностью будет находиться математическое ожидание F(x) случайной величины x. Эти границы определяют доверительный интервал, который зависит от доверительной вероятности β. В общем случае при малой выборке и различной доверительной вероятности доверительный интервал в своих меньшей и большей границах выразится следующими неравенствами:

 

,

где - среднее квадратическое отклонение для распределения средних арифметических величин:

= мм.

t_δ – критерий Стьюдента, который для β=0,9 (90%-ная доверительная вероятность) при данном числе степеней свободы К (приведён в таблице 2).

Для нашего примера принять t_δ=2,9.

Подставив значения и сделав расчёт, получим значения доверительного интервала, мм:

11,4 – 2,9×0,26 ≤ F(x) ≤ 11,4 + 2,9×0,26,

 

или в числовом выражении:

10,65 ≤ F(x) ≤ 12,15.

 

9. Сравнивают границы доверительного интервала с возможными величинами разброса результатов измерений (допуск на размер, если он задан в условии задачи). Если границы доверительного интервала не выходят за пределы поля допуска, то партия деталей считается годной с доверительной вероятностью β.

В нашем примере нижняя граница доверительного интервала больше по величине, чем d_min, то есть 10,65 больше 10,5, а также верхняя граница доверительного интервала меньше по величине, чем d_max, то есть 12,15 меньше 13.

Для сравнения строим в примерном масштабе схему поля допуска заданного размера и на ней наносим поле доверительного интервала.

10. Ответом на решение задачи является вывод о годности партии деталей: партия деталей годна.