Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматривается изменение во времени процентной ставки. Это вызвано изменением контрактных условий, предоставлением льгот, предъявлением штрафных санкций, а также изменением общих условий совершаемых сделок, в частности, изменение процентной ставки во времени (как правило, в сторону увеличения) связано с предотвращением банковских рисков, возможных в результате изменения экономической ситуации в стране, роста цен, обесценения национальной валюты и т. д.

Расчет наращенной суммы при изменении процентной ставки во времени может осуществляться как начислением простых процентов, так и сложных. Схема начисления процентов указывается в финансовом соглашении и зависит от срока, суммы и условий операции.

Пусть процентная ставка меняется по годам. Первые n₁ лет она будет равна i₁, n₂ – i₂ и т. д. При начислении на первоначальную сумму простых процентов необходимо сложить процентные ставки i₁, i₂, i_n, а при сложных – найти их произведение.

При начислении простых процентов применяется формула

S = P (1+i₁ t₁ + i₂ t₂ + i₃ t₃ + i_n t_n)

где i_n – ставка простых процентов, t_n – продолжительность периода начисления.

При начислении сложных процентов применяется формула

S = P(1+i₁ t₁)·(1+ i₂ t₂)·(1+ i₃ t₃)·(1+ i_n t_n)

где i_n – ставка сложных процентов, t_n – продолжительность периода ее начисления.

Дисконтирование

Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования, который представляет собой операцию, обратную наращению при обусловленном конечном размере денежных средств. В этом случае сумма процента (дисконта) вычитается из конечной суммы (будущей стоимости) денежных средств. Такая операция возникает в тех случаях, когда нужно знать, сколько средств необходимо инвестировать сегодня, чтобы через определенный период времени при известном проценте годовых получить заранее обусловленную их сумму.

Экономический смысл процесса дисконтирования денежных потоков состоит в нахождении суммы, эквивалентной будущей стоимости денежных средств. Эквивалентность будущих и дисконтированных денежных сумм означает, что инвестору должно быть безразлично, иметь некоторую сумму денежных средств сегодня или через определенный период времени располагать той же суммой, но увеличенной на величину начисленных за период процентов. Именно в этом случае временного безразличия можно говорить о том, что найдена дисконтированная стоимость будущих потоков.

Как видим, принципиальными при этом являются следующие вопросы: собственно величина будущих денежных сумм; сроки их получения; процентная или дисконтная ставка (процентная ставка используется для определения будущей стоимости денежных сумм, дисконтная ставка - для нахождения приведенной стоимости будущих сумм).

При определении процентной (дисконтной) ставки необходимо принять во внимание эффект сложных процентов.

Существуют различные цели определения текущей стоимости будущих денежных сумм. В частности может быть установлена величина однократного вклада, обеспечивающего получение заданной суммы в будущем.

Таким образом, для того чтобы выяснить целесообразность осуществления инвестиций, необходимо оценить, действительно ли текущая стоимость денежных сумм, которые будут получены в будущем, превышает текущую стоимость тех денежных сумм, которые необходимо инвестировать для получения этих доходов. Наличие превышения первых сумм над вторыми является критерием того, насколько желательны инвестиции.

Для случая серии поступлений или платежей используют следующие базовые формулы: текущая стоимость простого аннуитета; будущая стоимость простого аннуитета; величина повторяющихся вкладов, необходимых для получения заданной суммы в будущем; величина повторяющихся вкладов (платежей), необходимых для возмещения произведенных инвестиций.

Частные случаи:

Поток платежей, все члены которого постоянные величины, а временные интервалы между платежами одинаковые, называется аннуитетом (финансовой рентой, рентой). Основные параметры аннуитета:

— член аннуитета — величина каждого отдельного платежа;

— период аннуитета — временной интервал между платежами;

— срок аннуитета — время от начала реализации аннуитета до момента поступления последнего платежа;

— процентная ставка — ставка, используемая для расчета наращения или дисконтирования платежей, составляющих аннуитет.

Наращенная сумма аннуитета – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока (на дату последней выплаты).

Обычный аннуитет определяется как серия равновеликих, равномерных денежных потоков. Общее правило состоит в том, что для случая обычного (простого) аннуитета поступление (выплата) денежных средств производится в конце каждого периода.

При нахождении текущей стоимости аннуитета могут решаться следующие вопросы: за какую цену может быть приобретен актив, который будет приносить некоторый равномерный доход в течение заданного периода времени; какой должна быть сумма исходного вклада, который необходимо сделать для систематического получения в конце каждого периода в течение T лет заданной суммы.

PV= PMT * ((1-1/(1+E)ⁿ)/E)

Обратной по отношению к функции текущей стоимости аннуитета выступает функция сложных процентов, позволяющая рассчитать размер систематически повторяющихся платежей (выплат), возмещающих через T лет как исходный вклад, так и проценты по нему. Данная функция может быть названа функцией погашения первоначальных вложений.

PMT= PV* (E/(1-1/(1+E)ⁿ)

 

Использование рассматриваемой функции предполагает следующий механизм. Каждая сумма, возмещающая первоначальные инвестиции, включает две составляющие: процент дохода на инвестиции и собственно часть, обеспечивающую возврат инвестиций. Соотношение этих составляющих изменяется с каждой суммой; доля процентной составляющей падает; доля суммы, обеспечивающей возврат инвестиций, растет по мере приближения к концу периода.

Причиной, вызывающей такие изменения в соотношениях внутри каждого платежа, является то, что проценты начисляются на оставшуюся непогашенной сумму первоначального долга (вложений). Чем ближе к концу периода, тем меньше становится сумма непогашенного остатка, а следовательно, и доля процентной составляющей внутри каждого платежа.

Следующая функция сложных процентов — будущая стоимость простого аннуитета. Ее вычисление необходимо в том случае, если возникает потребность определить сумму, которая образуется на счете при регулярном равномерном вложении денежных средств в конце каждого периода при заданной процентной ставке.

FV=PMT * ((1+E)ⁿ-1)/E

 

Каждый вклад (депозит), кроме последнего, приносит сложный процент с момента депонирования до момента получения конечной суммы. Таким образом, сумма, которая образуется на счете к концу заданного периода, будет состоять из собственно вкладов, а также процентов, начисляемых на каждый из вкладов, за исключением последнего. Последний вклад по определению производится в конце заданного периода, и, следовательно, проценты по нему еще не могут быть начислены.

Если в конце каждого периода депонировать сумму, на которую будут начисляться проценты по ставке дохода на инвестиции, то к концу последнего периода на счете образуется сумма, достаточная для погашения величины первоначальных инвестиций. Для ее нахождения необходимо заданную сумму, т. е. первоначальную сумму инвестиций, умножить на функцию возмещения.

PMT=FV*(E/((1+E)ⁿ-1))

 

Следовательно, функция погашения первоначальных вложений представляет собой сумму двух составляющих: ставки процента и функции возмещения.

Рассмотренные шесть базовых формул сложных процентов лежат в основе анализа долгосрочных финансовых решений. Их использование предполагает проведение предварительного анализа ситуации, а именно ответить на такие вопросы: имеет место однократное или многократное вложение (получение) денежных сумм; необходимо определить будущую или текущую стоимость; требуется рассчитать конечную сумму или размер одного вклада (поступления) денежных средств; движение денежных средств возникает в начале или в конце периода; капитализация производится один раз в год или чаще?

Принципиальным моментом в процессе дисконтирования является установление конкретной нормы дисконта. Норма дисконта – экзогенно задаваемый основной экономический норматив, используемый при оценке эффективности инвестиционного проекта и отражающий темп прироста относительной ценности денег при более раннем их получении или при более позднем их использовании. В норме дисконта находят свое отражение предпочтения инвестора, поэтому выбор величины ставки приведения – это результат экономического суждения инвестора. Отсюда имеет место определенная условность как самого процесса дисконтирования, так и обобщающих характеристик дисконтированных потоков.

Различаются следующие нормы дисконта: коммерческая, участника проекта, социальная и бюджетная.

Коммерческая норма дисконта применяется при оценке коммерческой эффективности проекта и определяется с учетом альтернативной (то есть связанной с другими проектами) эффективности использования средств.

Норма дисконта участника проекта отражает эффективность участия в проекте предприятий (или иных участников). Она выбирается самими участниками. При отсутствии четких предпочтений в качестве нее можно использовать коммерческую норму дисконта.

Социальная (общественная) норма дисконта используется при расчетах показателей общественной эффективности и характеризует минимальные требования общества к общественной эффективности проектов. Она считается национальным параметром и устанавливается централизованно органами государственного управления.

Бюджетная норма дисконта используется при расчетах показателей бюджетной эффективности и отражает альтернативную стоимость бюджетных средств. Она устанавливается органами (федеральными или региональными), по заданию которых оценивается бюджетная эффективность инвестиционного проекта.

На величину нормы дисконта влияют следующие факторы:

1. банковский процент или другая сложившаяся на финансовом рынке альтернативная стоимость;

2. информация о рынке заемных средств и всей совокупности альтернативных и доступных инвестиционных проектов;

3. дивидендная политика организации;

4. размеры собственных средств инвестора;

5. различные аспекты фактора времени:

· динамика технико-экономических показателей предприятия;

· физический и моральный износ основных средств, обусловливающий общие тенденции к снижению их производительности и росту затрат на их содержание, эксплуатацию и ремонт на протяжении расчетного периода;

· изменение во времени цен на производимую продукцию и потребляемые ресурсы;

· несовпадение объемов выполняемых строительно-монтажных работ с размерами оплаты этих работ, в частности необходимость авансирования подрядчиков;

· разновременность затрат, результатов и эффектов, т.е. осуществление их в течение всего периода реализации проекта, а не в какой-то один фиксированный момент времени;

· изменение во времени экономических нормативов (ставок налогов, пошлин, акцизов, размеров минимальной месячной оплаты труда и т.п.);

· разрывы во времени (лаги) между производством и реализацией продукции и между оплатой и потреблением ресурсов.

Наличие большого количества факторов не позволяет предложить универсального правила выбора нормы дисконта. Часто для выбора ставки приведения используют следующие ориентиры:

1. доходность ценных бумаг;

2. усредненная стоимость капитала;

3. субъективные оценки, основанные на опыте управляющих;

4. существующие ставки по долгосрочному кредиту;

5. риск и темп инфляции.

В любом случае норма дисконта должна отражать скорректированную с учетом инфляции минимально приемлемую для инвестора доходность вложенного капитала с учетом альтернативных и доступных на рынке безрисковых направлений вложений. При этом считается теоретически правильным в настоящее время проведение расчетов эффективности инвестиционного проекта с учетом постепенно снижающейся нормы дисконта. Прежде всего, финансовые рынки страны совершенствуются и государственное управление ими становится все более эффективным, а ставка рефинансирования ЦБ РФ снижается, что ведет к сокращению сферы получения чрезмерно высоких доходов на вложенный капитал. Поэтому если сегодня инвестор будет вкладывать средства в проект с годовой доходностью не менее 15%, то через несколько лет он согласится и на 10%. Кроме того, по мере совершенствования законодательства снижается и политический риск долгосрочного инвестирования, а развитие внешнеэкономических и внешнеторговых отношений способствует сближению норм дисконта российских коммерческих структур с более низкими нормами для развитых стран (норма дисконта там определяется по доходности государственных долгосрочных ценных бумаг, скорректированной на темп инфляции).

Необходимость учета изменений нормы дисконта по шагам расчетного периода может быть обусловлена также методом установления этой нормы. Так, при использовании коммерческой нормы дисконта, установленной на уровне средневзвешенной стоимости капитала (WACC) по мере изменения структуры капитала и дивидендной политики WACC будет изменяться. Дисконтирование денежных потоков при меняющейся во времени норме дисконта отличается прежде всего расчетной формулой для определения коэффициента дисконтирования. В случае, когда в качестве момента приведения принято начало расчетного периода (t₀=0), коэффициент дисконтирования для m-го шага рассчитывается по формуле

 

α_m=1/ ((1+E_o) ^Do+…. + (1+E_m) ^Dm)

где E_0,…, E_m – нормы дисконта соответственно на 0–м, …, m–м шагах,
D₀, …, D_m – длительность этих шагов в годах или долях года.

Обоснование ставки дисконтирования. Использование низкой ставки может завысить текущую стоимость будущих денежных поступлений, в результате чего инвесторы могут выбрать неэффективный проект и понести серьезные потери. Известно, что долгосрочное инвестирование средств имеет, как правило, крупномасштабный и необратимый характер. Использование чрезмерно высокой ставки может привести к потерям иного рода - к потерям, связанным с упущенной возможностью получения дохода. Все это вызывает необходимость обоснования ставки дисконтирования.

Объективная сложность данной проблемы привела к тому, что не существует общего правила выбора ставки. Менеджеры и финансовые аналитики используют различные подходы, в частности метод, согласно которому ставка дисконтирования определяется несколькими составляющими: безрисковой ставкой (иногда в качестве таковой используется уровень доходности по государственным ценным бумагам) и поправкой на риск, связанный с данным инвестиционным проектом. Вторая составляющая определяется исходя из субъективных оценок аналитиком риска данного проекта.

Выделяют несколько подходов к расчету нормы дисконта. При этом существенное значение имеет вид источника финансирования инвестиций – собственные или заемные средства.

В случае, когда все инвестиционные средства являются заемными, норма дисконта может представлять собой процентную ставку по займам и кредитам.

В случае использования собственных средств ставку дисконта можно определить исходя из депозитного процента по срочным вкладам. Если ставка дисконта ниже депозитного процента, то инвестору будет выгоднее вкладывать финансовые средства в банк, а не в проект.