Прямая и плоскость в пространстве.

Прямая на плоскости

Если в системе координат на прямой, перпендикулярной нормальному вектору , задана точка , то выбрав на этой прямой произвольную точку , вектор можно записать через координаты в виде

Используя условие перпендикулярности двух векторов , получаем уравнение (1)

которое носит название уравнения прямой, проходящей через данную точку.

После раскрытия скобок уравнение (1) принимает вид:

(2)

где . Уравнение (2) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Если , или

, которое носит название уравнения прямой с угловым коэффициентом, а величина определяет ординату точки пересечения прямой с осью .

Если на плоскости заданы две точки , то уравнение пучка прямых имеет вид: (3)

(4)

Уравнение (4) называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Возьмем точки и подставим в уравнение (4). Получим – уравнение прямой в отрезках на осях. (5)

Если две прямые заданы уравнениями , то тангенс угла между ними вычисляется по формуле

(6)

В случае задания двух прямых общими уравнениями прямых можно выразить косинус одного из смежных углов между ними на основе формулы скалярного произведения двух нормальных векторов :

(7)

Из формулы (7) следует условие перпендикулярности прямых:

, или ,

а из формулы (6) – условие параллельности прямых:

или

Для определения расстояния от точки до прямой, заданной в общем виде, можно использовать формулу .

Задания:

1. Дано общее уравнение прямой . Написать:

а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках на осях.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью угол в .

3. Определить расстояние между прямыми

4. Написать уравнение перпендикуляра к прямой , проходящего через точку .

Плоскость.

Уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору , получается на основе использования скалярного произведения двух векторов. Пусть - произвольная точка плоскости . Тогда и по условию перпендикулярности векторов

(8)

Уравнение (8) называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку. После раскрытия скобок в данном уравнении получим общее уравнение плоскости в пространстве:

(9)

Угол, образованный двумя плоскостями, находится по формуле:

, где - нормальные векторы плоскостей + + .

Условие параллельности плоскостей имеет вид

Условием перпендикулярности плоскостей является равенство:

(10)

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле (11)

Задания:

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору

2. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точки и

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и образующей угол с плоскостью

4. Найти расстояние от точки до плоскости

 

Прямая и плоскость в пространстве.

 

Прямая в пространстве может быть задана двумя пересекающимся плоскостями, уравнения которых + и + . Тогда уравнения прямой будут

(12)

Уравнения (12) называют общими уравнениями прямой.

Уравнения прямой , проходящей через точку и параллельной вектору , получаются на основе условия коллинеарности двух векторов и : - каноническое уравнение прямой

Вектор называется направляющим вектором прямой.

Условие параллельности двух прямых имеет вид: , где и координаты направляющих векторов.

Условие перпендикулярности двух прямых записывается в виде:

.

Угол между прямой и плоскостью определяется выражением (13)

Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид:

(14)

Условием перпендикулярности прямой и плоскости являются равенства:

(15)

Задания:

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и и найти ее направляющие косинусы.

2. Показать, что прямая параллельна плоскости а прямая лежит в этой плоскости.

 

Индивидуальные задания

Задание 1.

Даны две последовательные вершины А и В ромба АВСD и точка пересечения О его диагоналей.

Найти:

а)Длину и уравнение стороны CD

б)Уравнение высоты, проведенной из вершины В на сторону CD

в)Внутренний угол ромба при вершине А

г)Площадь ромба

 

1. А(-2;2); В(-1;4) О(-1;2)

 

1. А(0;1); В(1;6) О(3;4)

 

1. А(4;1); В(5;6) О(2;3)

 

1. А(3;0); В(4;5) О(1;2)

 

1. А(5;2); В(6;7) О(3;4)

 

1. А(0;5); В(5;6) О(2;3)

 

1. А(-1;4); В(4;5) О(1;2)

 

1. А(0;1); В(5;2) О(3;4)

 

1. А(0;1); В(5;2) О(3;4)

 

1. А(4;-3); В(-1;1) О(-1;3)

 

1. А(-5;4); В(-2;5) О(-3;3)

 

1. А(-1;1); В(2;8) О(-3;3)

 

1. А(1;1); В(4;5) О(5;3)

 

1. А(-4;5); В(-1;1) О(-5;3)

 

1. А(1;-1); В(7;1) О(5;3)

 

1. А(1;-1); В(-4;4) О(-1;5)

 

1. А(2;-1); В(3;2) О(1;1)

 

1. А(5;1); В(7;5) О(4;2)

 

1. А(-2;3); В(-3;6) О(-1;4)

 

1. А(2;-3); В(-3;-2) О(1;-5)

 

1. А(3;5); В(4;10) О(6;8)

 

1. А(2;-4); В(5;1) О(7;-1)

 

1. А(-4;3); В(5;4) О(0;-1)

 

1. А(5;2); В(2;3) О(3;4)

 

1. А(0;1); В(3;6) О(4;5)

 

1. А(4;1); В(7;8) О(2;3)

 

1. А(-2;3); В(5;-2) О(-1;4)

 

1. А(2;-3); В(-11;1) О(1;-5)

 

1. А(1;-1); В(-1;5) О(1;5)

 

1. А(4;-1); В(1;-2) О(2;-3)

 

1. А(-1;1); В(4;-3) О(-1;-3)

 

1. А(7;1); В(1;-1) О(5;3)

 

1. А(5;6); В(4;1) О(2;3)

 

1. А(6;7); В(1;6) О(3;4)

 

Задание 2

Даны четыре точки А₁(x₁;y₁;z₁), А₂(x₂;y₂;z₂), А₃(x₃;y₃;z₃), А₄(x₄;y₄;z₄). Составить уравнения:

а) плоскости А₁А₂А_3;

б) прямой А₁А₂ ;

в) прямой А₁М, перпендикулярной к плоскости А₁А₂А₃ ;

г) прямой А₁N, параллельной прямой А₁А₂;

д) плоскости, проходящей через точку А₄ перпендикулярно вектору

;

е) найти косинус угла между координатной плоскостью О_ХУ и плоскостью А₁А₂А_3.

 

1. А₁(3;1;4); А₂(-1;6;1); А₃(-1;1;6); А₄(0;4;-1)

 

2. А₁(3;-1;2); А₂(-1;0;1); А₃(1;7;3); А₄(8;5;8)

 

3. А₁(3;5;4); А₂(5;8;3); А₃(1;2;-2); А₄(-1;0;2)

 

4. А₁(2;4;3); А₂(1;1;5); А₃(4;9;3); А₄(3;6;7)

 

5. А₁(9;5;5); А₂(-3;7;1); А₃(5;7;8); А₄(6;9;2)

 

6. А₁(0;7;1); А₂(2;-1;5); А₃(1;6;3); А₄(3;-9;8)

 

7. А₁(5;5;4); А₂(1;-1;4); А₃(3;5;1); А₄(5;8;-1)

 

8. А₁(6;1;1); А₂(4;6;6); А₃(4;2;0); А₄(1;2;6)

 

9. А₁(7;5;3); А₂(9;4;4); А₃(4;5;7); А₄(7;9;6)

 

10. А₁(6;8;2); А₂(5;4;7); А₃(2;4;7); А₄(7;3;7)

 

11. А₁(4;2;5); А₂(0;7;1); А₃(0;2;7); А₄(1;5;0)

 

12. А₁(4;4;10); А₂(7;10;2); А₃(2;8;4); А₄(9;6;9)

 

13. А₁(4;6;5); А₂(6;9;4); А₃(2;10;10); А₄(7;5;9)

 

14. А₁(3;5;4); А₂(8;7;4); А₃(5;10;4); А₄(4;7;8)

 

15. А₁(10;9;6); А₂(2;8;2); А₃(9;8;9); А₄(7;10;3)

 

16. А₁(1;8;2); А₂(5;2;6); А₃(5;7;4); А₄(4;10;9)

 

17. А₁(6;6;5); А₂(4;9;5); А₃(4;6;11); А₄(6;9;3)

 

18. А₁(7;2;2); А₂(-5;7;-7); А₃(5;-3;1); А₄(2;3;7)

 

19. А₁(8;-6;4); А₂(10;5;-5); А₃(5;6;-8); А₄(8;10;7)

 

20. А₁(1;-1;3); А₂(6;5;8); А₃(3;5;8); А₄(8;4;1)

 

21. А₁(1;-2;7); А₂(4;2;10); А₃(2;3;5); А₄(5;3;7)

 

22. А₁(4;2;10); А₂(1;2;0); А₃(3;5;7); А₄(2;-3;5)

 

23. А₁(2;3;5); А₂(5;3;-7); А₃(1;2;7); А₄(4;2;0)

 

24. А₁(5;3;7); А₂(-2;3;5); А₃(4;2;10); А₄(1;2;7)

 

25. А₁(4;3;5); А₂(1;9;7); А₃(0;2;0); А₄(5;3;10)

 

26. А₁(1;8;2); А₂(5;2;6); А₃(5;7;4); А₄(4;10;9)

 

27. А₁(4;2;10); А₂(1;2;0); А₃(3;5;7); А₄(2;-3;5)

 

28. А₁(7;2;2); А₂(-5;7;-7); А₃(5;-3;1); А₄(2;3;7)

 

29. А₁(1;1;3); А₂(6;5;8); А₃(3;5;8); А₄(8;4;1)

 

30. А₁(4;3;5); А₂(1;9;7); А₃(0;2;0); А₄(5;3;10)

 

31. А₁(2;-3;5); А₂(4;0;-7); А₃(0;5;2); А₄(4;4;-3)

 

32. А₁(1;7;-1); А₂(1;2;0); А₃(4;-1;3); А₄(-5;7;0)

 

33. А₁(0;4;-1); А₂(-1;6;1); А₃(-1;1;6); А₄(3;1;4)

 

34. А₁(2;3;7); А₂(-5;7;-7); А₃(5;-3;1); А₄(7;2;2)

 

Кривые второго порядка

Уравнение второй степени относительно двух переменных

при разных значениях коэффициентов описывает четыре вида линий на плоскости: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Это уравнение называется общим уравнением кривых второго порядка.

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра).

Нормальное уравнение окружности имеет вид:

,

где - координаты центра окружности; - радиус окружности.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина , большая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где , если и фокусы находятся на оси . Параметры называются полуосями эллипса. Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от точки эллипса до его фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам: .

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов), есть постоянная величина , причем , где - расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, имеет вид , где .

Параметр называется вещественной полуосью гиперболы и представляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр называется мнимой полуосью.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Расстояния от точки гиперболы до фокусов (фокальные радиусы) определяются по формулам: .

Прямые, заданные уравнениями являются асимптотами гиперболы.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси имеет вид: .

Уравнение вида описывает параболу, симметричную относительно оси .

Фокальный радиус точки , т.е. ее расстояние до фокуса на оси , находится по формуле .

Парабола, ось которой параллельна оси , описывается уравнением .

Задания:

1. Найти координаты центра и радиус окружности . Построить окружность.

2. Составить уравнение окружности, проходящей через точку пересечения окружности с прямой и точку .

3. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки .

4. Написать каноническое уравнение эллипса, если малая полуось равна 5, а эксцентриситет равен .

5. Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы

6. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями и гипербола проходит через точку

7. Составить уравнение параболы, если ее фокус находится в точке пересечения прямой с осью

8. Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат и которая проходит через точку - ось симметрии.