Lineární funkce

Obsah

 

Až nakonec

Uacute;vod

 

Cílem této práce bude stručně a jasně vysvětlit matematické funkce, seznámit začátečníky i pokročilé s tímto oborem. Tématem budou samozřejmě Funkce, základní a rozšířené metodiky, postupy při počítání. Na začátku bych chtěla vysvětlit, co to vlastně „ty funkce“ jsou, takže nějaká přesná definice, dále budu pokračovat seznamováním s jednotlivými druhy funkcí a pak se pustíme do příkladů. Mými pomocníky v této práci budou wikipedie, odborná literatura a další zdroje. Toto téma jsem si vybrala, protože mi nejen připadá jako zajímavé, ale i téma, které je třeba znát a umět ostatním vysvětlit, jelikož funkce nás budou provázet po celý život, jsou všude, kam se jen podíváte, a proto jsou tak důležité.

Stať

 

Definice

Funkce je vlastně název pro zobrazení nějaké množiny M do množiny čísel (která jsou většinou reálná nebo komplexní), nebo do vektorového prostoru (v tomto případě mluvíme o vektorové funkci). Je to tedy předpis, ve kterém je ke každému prvku z množiny M jednoznačně přiřazeno nějaké číslo nebo vektor (hodnota funkce). Slovo funkce se někdy také používá pro libovolné zobrazení.

Praxe

Funce v praxi mají velké uplatnění. Goniometrické funkce především využívají architekti, inženýři a stavitele, lineární se budou hodit analitikům atd. V matematice jsou vhodné pro řešení rovnic, nerovnic, porovnávání.

Způsoby zadání funkce

1. Analyticky

Existují tři tvary vyjádření funkce analytickým způsobem: exciplictní, implicitní a parametrický. Exciplitní vyjádření funkce vypadá takto: y=f(x), zatímco implicitní tvar vypadá trochu jinak: F(x, y)=0, parametrický vypadá dosti složitě, ale takový ve skutečnosti není: x=f₁(t), y=f₂(t), kde je t vhodný parametr.

Příklad

Zápis kvadratické funkce analytickým způsobem:

Emplicitní tvar	y=2x2
Implicitní tvar	y-2x2=0
Parametrický tvar	x=t , y=t2

 

2.Graficky

S tímto způsobem se setkáváme u empirických funkcích, jejichž hodnoty se získávají měřením, např. hodnoty teploty naměřené v průběhu dne.

Příklad

Příklad zadání funkce grafem. D(x) označuje definiční obor a H(y) označuje obor hodnot.

3.Tabulkou (výčtem hodnot)

Předpis funkce může být zadán také výčtem hodnot, který obvykle uspořádáme do tabulky.

Příklad

Příkladem může být např. zadání funkce

X
y

Definičním oborem je zde množina {1, 2, 3, 4, 5}, a oborem hodnot je množina {2, 4, 6, 8, 10}

Základní vlastnosti funkcí

Funkce f se nazývá SUDÁ FUNKCE, právě když zároveň platí:

1. Pro každé x ϵ D(f) je také –x ϵ D(f)

2.Pro každé x ϵ D(f) je f(-x)=f(x)

Bod A‘ [ -x; f(x) ] je souměrně sdružený s bodem A[ x; f(x) ] podle osy y, proto je graf sudé funkce osově souměrný podle osy y.

Funkce f se nazývá LICHÁ FUNKCE, právě když zároveň platí:

1. Pro každé x ϵ D(f) je také –x ϵ D(f)

2.Pro každé x ϵ D(f) je f(-x)=-f(x)

Bod A‘ [ -x; f(x) ] je souměrně sdružený s bodem A[ x; f(x) ] podle počátku kartézské soustavy souřadnic, proto je graf liché funkce středově souměrný podle počátku kartézské soustavy souřadnic.

Funkci f nazveme ROSTOUCÍ V MNOŽINĚ M, právě když pro každé dva prvky x₁, x₂ z M platí: je-li x₁ < x₂, potom f(x₁) < f(x₂). Funkci f nazveme KLESAJÍCÍ V MNOŽINĚ M, právě když pro každé dva prvky x₁, x₂ z M platí: je-li x₁ < x₂, potom f(x₁) > f(x₂). Místo „funkce f je rostoucí (klesající) v D(f)“ říkáme pouze „funkce f je rostoucí (klesající)“

Dále se budu zabývat lineární a kvadratickou funkcemi. Ukážu Vám jak vypadají, jejich grafy a obecné rovnice.

Lineární funkce

je taková funkce, jejíž hodnota na celém jejím definičním oboru rovnoměrně klesá nebo roste. Například funkce f(x) = 3x je lineární.

Funkce f je lineární, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru

,

kde k i q jsou konstanty.

Parametr k je tzv. směrnice přímky, parametr q určuje její svislý posun. Definiční obor lineární funkce je .

Lineární funkce proměnných má tvar

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

· grafem lineární funkce nad reálnými čísly je přímka různoběžná s osou y

· lineární funkce jsou uzavřené na skládání

· lineární funkce není ohraničená ani periodická

· pro k > 0 je lineární funkce rostoucí, pro k < 0 je klesající

· lineární funkce je spojitá

· pro q = 0 prochází počátkem a v takovém případě je lichou funkcí

· lineární funkce má v každém bodě derivaci, která je rovna její směrnici

· primitivní funkce k lineární funkci je kvadratická funkce

· příklad:

 

 

– Vymezte lineární funkci, napište, jak je zadaná, co je jejím grafem, doložte na příkladu. V programu Funkce.exe, který je k dispozici na Moodlu, si vygenerujte nějaký graf lineární funkce a vložte obrázek do práce. Funkci na obrázku popište v textu. Totéž proveďte v Excelu. Na závěr diskutujte, jaký vliv mají koeficienty a, b v předpisu lineární funkce. Toto můžete demonstrovat na obrázcích.

 

• stať -

– Napište, kterými funkcemi se budete v následujících kapitolách zabývat.

– Vymezte lineární funkci, napište, jak je zadaná, co je jejím grafem, doložte na příkladu. V programu Funkce.exe, který je k dispozici na Moodlu, si vygenerujte nějaký graf lineární funkce a vložte obrázek do práce. Funkci na obrázku popište v textu. Totéž proveďte v Excelu. Na závěr diskutujte, jaký vliv mají koeficienty a, b v předpisu lineární funkce. Toto můžete demonstrovat na obrázcích.

– Vyberte si další typ funkce (kvadratická, lineární lomená, mocninná...) a postupujte stejně, jako v předcházející kapitole.