Результат измерения плотности

Крушняк Н.Т.

 

 

Методические указания

По выполнению домашнего задания № 2

«Оценка точности измерения плотности твердого тела»

по дисциплине «Прикладная метрология»

 

 

Москва

 

Домашнее задание № 2

 

“Оценка точности измерения плотности твердого тела”

 

Плотность твердого тела определяется косвенным измерением по формуле

r = ,

где m – масса тела, V – объем тела.

Данная зависимость является степенной нелинейной функцией

r = m V

с коэффициентами = 1 и = -1.

Результат измерения плотности

= ,

где и - среднее арифметическое значение результатов наблюдений при измерении массы тела m и объема V

= ; = ,

где n и n - числа наблюдений при измерениях массы и объема.

Так как зависимость нелинейная, то для оценивания погрешности измерения используем метод линеаризации. Данный метод применим в том случае, если можно пренебречь остаточным членом R разложения функции (1) в ряд Тейлора. Остаточный член вычисляют по формуле

 

R = (Dх_j)² = .

 

Остаточным членом пренебрегают, если

 

R 0,8 = 0,8 .

 

Погрешность измерения плотности содержит случайную и неисклю-ченную систематическую составляющие.

Случайная погрешность измерения плотности

e(P) = t × ,

где t – коэффициент Стьюдента; – эмпирическое среднее квадратическое отклонение результата измерения плотности.

Так как зависимость r = степенная, то расчеты проводим в относительной форме

 

S(d ) = = = ,

где S²(dm) и S²(dV) – оценки дисперсий результатов наблюдений массы m и объема V, выраженные в относительной форме:

(dm) = ; (dV) = ;

и – эмпирические средние квадратические отклонения результатов наблюдений массы и объема

= ; = .

Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения плотности в абсолютной форме равна

= S() × .

Неисключенная систематическая погрешность результата измерения плотности q(r) определяется неисключенными систематическими погрешностями измерения массы q_m и объема q_V.

Неисключенную систематическую погрешность результата измерения плотности определим в относительной форме

q(P) = = ,

где - коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р (при

Р = 0,95 = 1,1)

В абсолютной форме

q(P) = q(d .

Для определения полная погрешности результата измерения плотности вычисляем отношение .

При условии полная погрешность результата измерения плотности содержит как случайную ε(P), так и неисключенную системати-ческую θ(P) пгрешности и определяется по формуле

,

где , .

При условии пренебрегают неисключенной систематической погрешностью и принимают, что общая погрешность измерений равна случайной погрешности

 

.

При условии пренебрегают случайной погрешностью и принимают, что общая погрешность измерений равна неисключенной систематической погрешности

 

.

 

 

Пример. Плотность твердого тела определяется по результатам измерения массы тела m и его объема V

r = .

Масса тела измеряется методами точного взвешивания с применением набора образцовых гирь, погрешность которых не превышает 0,01 мг. Объем тела определяется методом гидростатического взвешивания с применением того же набора гирь.

Определить результат измерения плотности по следующим результатам наблюдений.

 

m, г	252,9119	252,9133	252,9151	252,9130	252,9109
V, см	195,3799	195,3830	195,3790	195,3819	195,3795

 

252,9094	252,9113	252,9115	252,9119	252,9115	252,9118
195,3788	195,3792	195,3794	195,3791	195,3791	195,3794

 

Результаты расчетов представим в виде таблицы.

 

Таблица

 

Масса тела m, г	,г	г		Объем тела V, см	, см	, см
252.9119 252.9133 252.9151 252.9130 252.9109 252.9094 252.9113 252.9115 252.9119 252.9115 252.9118	-1 +13 +31 +10 -11 -26 -7 -5 -1 -5 -2			195.3799 195.830 195.790 195.819 195.795 195.788 195.792 195.794 195.791 195.791 195.794	+1 +32 -8 +21 -3 -10 -6 -4 -7 -7 -4

 

Определим средние арифметические значения результатов измерения массы и объема , а также эмпирические оценки дисперсий:

252,9120 г; 195.3798 см ;

213.2 10 , г ;

180.5 10 , см .

Оценки дисперсий в относительной форме

;

.

Результат измерения плотности

Для оценивания погрешности измерения используем метод линеаризации, но сначала надо проверить допустимость этого приема. Для этого следует вычислить остаточный член R по формуле

 

.

 

Определим частные производные

;

Частные производные будем вычислять в точке с координатами и , так как погрешности Dm и DV незначительны. Получим

или в относительной форме

При оценке и в качестве DV и Dm возьмем наибольшие отклонения от средних значений, наблюдавшиеся при измерении

; .

Тогда

;

.

Так как погрешности случайные, то их знак можно не учитывать. Поэтому

.

Проверим условия, позволяющие пренебречь остаточным членом

R < 0,8

или в относительной форме

dR < 0,8

где ;

.

 

Вычислим

> .

Поэтому остаточным членом можно пренебречь.

Оценку среднего квадратического отклонения результата измерения плотности найдем в относительной форме

Откуда

 

г/см³.

Определим доверительные границы случайной погрешности измерения

плотности

 

где t = 2,23 при P = 0,95 и (n – 1) = 10.

Определим неисключенную систематическую погрешность результата измерения плотности. Так как q_m = ± 0,01 мг и q_V = ± 0,01 , то неисключенная систематическая погрешность результата измерения плотности в относительной форме равна

в абсолютной форме

.

Вычислим отношение

< 0,8.

Так как < 0,8, то пренебрегаем неисключенной систематической погрешностью и принимаем

D(P) = e(P) = ± 0,000008 г/см³.

Результат измерения плотности

 

P = 0,95; n = 11.

 

Сравним полученный результат с результатом, получаемым при использовании приближенной оценки числа степеней свободы по формуле

 

.

Так как n₁ = n₂ = n = 11, то

 

.

 

При P = 0,95 и k_эф = 21 коэффициент Стьюдента t = 2,08. Поэтому

 

ε(P) = 2,08∙3,5∙10^-6 = 7,28∙10^-6 г/см³.

 

Полученное значение ε(P) достаточно близко к предыдущему результату ε(P) = 7,8∙10^-6 г/см³.

 

 

 

 

Приложение 1

 

Таблица П1

 

Значения коэффициента Стьюдента t

Число степеней свободы k	t при доверительной вероятности Р, равной
0,90	0,95	0,98	0,99
	6,31	12,71	31,82	63,66
	2,92	4,30	6,96	9,92
	2,35	3,18	4,54	5,84
	2,13	2,78	3,75	4,60
	2,02	2,57	3,36	4,03
	1,94	2,45	3,14	3,71
	1,89	2,36	3,00	3,50
	1,86	2,31	2,90	3,35
	1,83	2,26	2,82	3,25
	1,81	2,23	2,76	3,17
	1,80	2,20	2,72	3,11
	1,78	2,18	2,68	3,06
	1,77	2,16	2,65	3,01
	1,76	2,14	2,62	2,98
	1,75	2,12	2,58	2,92
	1,73	2,10	2,55	2,88
	1,72	2,09	2,52	2,84
	1,72	2,07	2,51	2,82
	1,71	2,06	2,49	2,71
	1,71	2,06	2,48	2,78
	1,70	2,05	2,47	2,76
	1,70	2,04	2,46	2,75
	1,64	1,96	2,33	2,56

 

 

Приложение 2

 

Варианты домашнего задания № 2.

 

№ 1

 

m, г	300,2354	300,2357	300,2394	300,2314	300,2368	300,2387	300,2325
V, см	150,1263	150,1267	150,1253	150,1296	15,1241	150,1273	150,1260

 

№ 2

 

m, г	423,3642	423,3645	423,3635	423,3674	423,3618	423,3652	423,3627
V, см	156,7348	156,7351	156,7342	156,7372	156,7327	156,7336	156,7363

 

№ 3

 

m, г	357,6374	357,6378	357,6367	357,6375	357,6358	357,6391	357,6346
V, см	238,4249	238,4267	238,4253	238,4233	238,4251	238,4241	268,4243

 

№ 4

 

m, г	675,2136	675,2139	675,2141	675,2162	675,2127	675,2123	675,2131
V, см	373,1187	373,1199	373,1183	373,1192	373,1169	373,1174	373,1176

 

№ 5

 

m, г	837,2347	837,2344	837,2349	837,2331	837,2364	837,2353	837,2338
V, см	256,8204	256,8236	256,8209	256,8187	256,8199	256,8201	256,8207

 

№ 6

 

m, г	743,5451	743,5450	743,5483	743,5432	743,5453	743,5459	743,5448
V, см	313,7321	313,7325	313,7317	313,7343	313,7309	313,7313	313,7334

 

№ 7

 

m, г	768,3327	768,3329	768,3321	768,3358	768,3088	768,3341	768,3316
V, см	183,8116	183,8148	183,8101	183,8123	183,8113	183,8108	183,8134

 

№ 8

 

m, г	543,7834	543,7837	543,7831	543,7841	543,7827	543,7857	543,7811
V, см	117,4371	117,4373	117,4368	117,4397	117,4351	117,4382	117,4365

 

 

№ 9

 

m, г	624,6712	624,6723	624,6705	624,6740	624,6703	624,6718	624,6728
V, см	121,5314	121,5318	121,5309	121,5304	121,5321	121,5348	121,5330

 

№ 10

 

m, г	867,3241	867,3275	867,3243	867,3237	867,3221	867,3218	867,3254
V, см	152,9672	152,9673	152,9669	152,9698	152,9684	152,9655	152,9681

 

№ 11

 

m, г	478,6493	478,6495	478,6489	478,6498	478,6471	478,6525	478,6507
V, см	75,7356	75,7388	75,7367	75,7333	75,7362	75,7351	75,7141

 

№ 12

 

m, г	913,4556	913,4567	913,4593	913,4531	913,4542	913,4551	913,4561
V, см	121,3088	121,3082	121,3091	121,3051	121,3108	121,3095	121,3090

 

№ 13

 

m, г	977,4248	977,4203	977,4250	977,4273	977,4670	977,4236	977,4254
V, см	124,6715	124,6755	124,6693	124,6743	124,6702	124,6713	124,6718

 

№ 14

 

m, г	302,2354	302,2357	302,2394	302,2314	302,2368	302,2387	302,2325
V, см	119,4371	119,4373	119,4368	119,4397	119,4351	119,4382	119,4365

 

№ 15

 

m, г	433,3642	433,3645	433,3635	433,3674	433,3618	433,3652	433,3627
V, см	153,9672	153,9673	153,9669	153,9698	153,9684	153,9655	153,9681

 

№ 16

 

m, г	685,2136	685,2139	685,2141	685,2162	685,2127	685,2123	685,2131
V, см	85,7356	85,7388	85,7333	85,7362	85,7351	85,7341	85,7367

 

 

№ 17

 

m, г	847,2347	847,2344	847,2349	847,2331	847,2364	847,2353	847,2338
V, см	248,4249	248,4267	248,4253	248,4233	248,4251	248,4241	248,4243

№ 18

 

m, г	488,6493	488,6495	488,6489	488,6498	488,6471	488,6525	488,6507
V, см	131,5314	131,5318	131,5309	131,5304	131,5321	131,5348	131,5330

 

№ 19

 

m, г	634,6712	634,6723	634,6705	634,6740	634,6703	634,6718	634,6728
V, см	363,1187	363,1199	363,1183	363,1192	363,1169	363,1174	363,1176

 

№ 20

 

m, г	923,4556	923,4567	923,4593	923,4531	923,4542	923,4551	923,4561
V, см	166,7348	166,7351	166,7342	166,7372	166,7327	166,7336	166,7363

 

№ 21

 

m, г	745,5451	745,5450	745,5483	745,5432	745,5453	745,5459	745,5448
V, см	246,8204	246,8236	246,8209	246,8187	246,8199	246,8201	246,8207

 

№ 22

 

m, г	367,6374	367,6378	367,6367	367,6375	367,6358	367,6391	367,6346
V, см	111,3088	111,3082	111,3091	111,3051	111,3108	111,3095	111,3090

 

№ 23

 

m, г	564,6556	564,6557	564,6593	564,6531	564,6542	564,6551	564,6561
V, см	101,1187	101,1183	101,1192		101,1179	101,1177	101,1190

 

№ 24

 

m, г	427,6374	427,6378	427,6367	427,6375	427,6358	427,6391	427,6346
V, см	216,4249	216,4267	216,4253	216,4233	216,4251	216,4241	216,4243

 

№ 25

 

m, г	957,4556	957,4567	957,4593	957,4531	957,4542	957,4551	957,4561
V, см	211,3078	211,3072	211,3081	211,3041	211,3098	211,3085	211,3080

 

№ 26

 

m, г	314,2354	314,2357	314,2394	314,2314	314,2368	314,2387	314,2325
V, см	121,4371	121,4373	121,4368	121,4397	121,4351	121,4382	121,4365

 

№ 27

 

m, г	657,1235	657,1238	657,1242	657,1262	657,1237	657,1221	657,1232
V, см	264,2188	264,2197	264,2181	264,2167	264,2175	264,2193	264,2174

 

№ 28

 

m, г	823,6548	823,6542	823,6541	823,6530	823,6565	823,6557	823,6539
V, см	168,9303	168,9338	168,9308	168,9286	168,9298	168,9305	168,9309

 

№ 29

 

m, г	755,6352	755,6345	755,6392	755,6330	755,6355	755,6368	755,6341
V, см	412,5427	412,5423	412,5416	412,5453	412,5408	412,5415	412,5438

 

№ 30

 

m, г	578,4243	578,4238	578,4232	578,4245	578,4227	578,4263	578,4209
V, см	227,9883	227,9865	227,9872	227,9898	227,9846	227,9884	227,9869

 

№ 31

 

m, г	673,4521	673,4532	673,4507	673,4554	673,4500	673,4519	673,4527
V, см	94,6716	94,6723	94,6707	94,6701	94,6728	94,6757	94,6732

 

№ 32

 

m, г	981,6742	981,6787	981,6753	981,6734	981,6723	981,6713	981,6752
V, см	146,2391	146,2385	146,2354	146,2407	146,2383	146,2341	146,2396