В) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

а) Многоугольник распределения будет иметь вид (см. рис. 1)

 

б) Построим функцию распределения . По определению

.

· Пусть . Тогда = = 0, т.к. значений меньших числа 0, величина X не принимает.

·

· Пусть . Тогда = + = + = = , т.к. неравенство выполнено, если или , а X может принимать значение 0 с вероятностью и значение 1 с вероятностью ; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое, X может принять (по аксиоме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью + = .

· Пусть . Тогда = + + = + + = 1. Действительно, событие достоверное и его вероятность равна единице.

Итак, искомая функция распределения имеет вид:

График функции распределения на рис. 2

 

в) Найдем математическое ожидание случайной величины X. По формуле (5) = , то есть

= = = 1.

Найдем дисперсию случайной величины X. По определению (6) ,однако при вычислении дисперсии удобнее воспользоваться формулой (7) .

Напишем закон распределения , для этого в первой строке запишем значения , во второй вероятности :

P

 

= = = ,

= = 0,4.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X находится по формуле (8): . Тогда

.

 

 

Непрерывная случайная величина

 

Для некоторых случайных величин вероятность того, что случайная величина примет какое либо наперед заданное значение равна нулю, т.е. Для таких случайных величин вероятность, отличная от нуля, может быть связана лишь с попаданием величины в заданный интервал. К таким величинам принадлежат, например, погрешности обработки, ошибки измерения и т.д.

Случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной случайной величиной.

Случайная величина называется непрерывно распределенной или непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема.

 

Для характеристики непрерывных случайных величин вводят понятие плотности распределения. Плотность распределения – это производная от функции распределения.

Обозначения:

(9)

Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляют по формуле

= = . (10)

Дисперсию случайной величины можно находить по определению (6)

Þ = (11)

или, используя свойство дисперсии (7).

Среднее квадратическое отклонение, как и в случае дискретной

случайной величины,определяют по формуле (8)

Кроме того, непрерывная случайная величина обладает следующим свойством:

= = = (12)

или

= = .

Сравните (12) с формулой (2), которая справедлива для любых величин как дискретных, так и непрерывных.

Пример 2. Дана функция распределения непрерывной случайной величины

k = – 2, l = 3, m = 9, n = 4.

Найти: 1) плотность распределения; 2) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Построить графики функций,. Найти вероятность того, что в результате испытания: а); б); в); г).

Решение:

1) Плотность распределения находим по формуле (9):

.

Так как функция распределения задана тремя аналитическими выражениями, то надо для каждого из них по таблице найти производную, а именно

, , .

Тогда

2) При вычислении математического ожидания и дисперсии следует иметь в виду, что поскольку на разных участках имеет различные аналитические выражения, то необходимо использовать свойство определенного интеграла, а именно:

,

причем в качестве точки c надо взять x = 2 и x = 5 (точки, соответствующие переходу к другому аналитическому выражению)

=

Теперь в каждый интеграл подставляем аналитическое выражение , соответствующее указанному изменению переменной x.

= = = = = .

Дисперсию случайной величины можно вычислять по определению

Þ = (12)

или, используя свойство дисперсии (7)

В формуле (7) = =12,25. Осталось найти . При вычислении поступаем так же, как при вычислении математического ожидания (10)

= =

= = =

=

По формуле (7) находим дисперсию

= 13 – 12,25=0,75.

Среднее квадратическое отклонение будет равно

= .

Построим теперь графики функций и (см. рис. 3 и рис. 4).

 

 

 

Рис.4

 

 

Чтобы вычислить вероятность попадания непрерывной случайной величины X в заданный интервал используем формулы (12)

Тогда

а) ;

Здесь учтено, что точка x = – 2 принадлежит интервалу и поэтому = 0; = 0 – по свойству функции распределения

б) ;

Точка x = 3 принадлежит интервалу (2; 5] и поэтому .

в)

Точка x = 4 принадлежит интервалу (2; 5] и поэтому .

г) .

Точка x = 9 принадлежит интервалу и поэтому = 1. Кроме того – это свойство функции распределения.

 

На следующей странице формулы темы «Случайные величины» сведены в таблицу. Сравнительный анализ формул для дискретных и непрерывных случайных величин поможет при изучении этой темы и подготовке к экзамену.

 

Функция распределения .
Дискретная случайная величина	Непрерывная случайная величина
Вычисление вероятности попадания в заданный интервал:

Закон распределения

X			…
P			…
1) , 2) .