Деление многозначного числа на разрядное число. 5 страница

Умножение многозначного числа на трехзначное

 

Алгоритм умножения на трехзначное число целесообразно рассматривать в сравнении с алгоритмом умножения на двузначное число. При этом можно использовать анализ выполненных действий. Для этой цели предлагаются различные упражнения. Н.Б. Истомина, например, предлагает следующие:

 

ü Объясни, как вычислено значение произведения слева и справа:

х 375 24 +1500 750

х 24 375 + 168 72

 

ü Догадайся, почему второе неполное произведение записано, начиная с разряда сотен?

х234 402 936

х507 304 1521

 

ü Используя запись умножения «в столбик», найди значения выражений:

х 38 57 190

38·7 38·50 266+1900 2166-1900 2166-266

Таким образом, при умножении на трехзначное число (в сравнении с умножением на двузначное) появляется только третье неполное произведение. В целом алгоритмы аналогичны.

 

 

Урок № 20 (с.84). Прием письменного деления на однозначное число (когда каждый разряд делимого делится на делитель без остатка).

Ученики приходят к заключению, что деление «уголком», в отличие от сложения, вычитания и умножения, выполняется, начиная с единиц высшего разряда.

Урок № 21 (с.85). Прием письменного деления на однозначное число (когда один разряд делимого не делится на делитель без остатка).

Важно, чтобы ученики обратили внимание на следующие моменты:

§ Письменное деление выполняется поразрядно, начиная с сотен;

§ При нахождении каждой цифры в значении частного надо выполнить деление, умножение, вычитание и сравнение делителя с остатком.

 

 

Деление.

Определим, из каких операций состоит алгоритм письменного деления (его «деление углом»).

Рассмотрим 616236:267 (самый сложный случай деления в начальных классах – деление многозначного числа на трехзначное).

Сначала выделяем неполное делимое 616. Подбираем цифру частного. Умножаем делитель на 2, получаем 534. Вычитаем это произведение из неполного делимого. Разность 82. Дополняем её следующей цифрой делимого, получаем неполное делимое 822. Подбираем следующую цифру частного – 3. Умножаем делитель на 3 и получаем произведение, вычитаем из 822. Дополняем разность следующего цифрой делимого, получаем 213. Это неполное делимое не делится на 267, Поэтому в частном записываем 0. Сносим еще одну цифру делимого … и так далее.

Отметим, что операция определения первого неполного делимого отличается от операции получения последовательных неполных делимых.

Алгоритм:

1) Определение первого неполного делимого;

2) Определение цифры частного;

3) Умножение делителя на подобранное число;

4) Вычитание произведения из неполного делимого;

5) Если цифра частного подобрана верно, то выполняется следующая операция алгоритма, если нет, повторно выполняются операции 3-5;

6) Определяется неполное делимое. Если оно существует, выполняется третья и следующая за ней операция алгоритма. Если неполного делимого нет, деление окончено.

Не все операции требуют специального изучения. Так, операция 3 изучена в теме «Умножение многозначного числа», 4 – «Сложение и вычитание в пределах 1000».

Изучение темы «Деление многозначных чисел» начинается со случаев, когда делитель – однозначное число.

Деление многозначного числа на однозначное (устное).

Самые простые случаи, когда каждое разрядное число делится на делитель нацело 248: 2 468: 2 639: 3 и так делее. Чтобы вычислить такое частное, не требуется алгоритм деления углом. Устно, начиная со старшего разряда, делятся разрядные числа, а полученные результаты записываются в соответственные разряды частного.

Например, 9603: 3 9 тыс: 3 = 3 тыс; 6 сот: 3 = 2 сот 0 дес: 3 = 0 дес;

3 ед: 3 = 1 ед 3 ед: 3 = 1 ед. Таким образом, в частном 3 тыс, 2 сот, 0 дес и 1 ед.=> Частное 3201.

Методика такова. Учащимся хорошо знаком прием деления двузначных чисел на однозначные.

Частные 36: 3, 48: 4, 63: 3 вычисления последовательным делением разрядных единиц. Этот прием учитель показывает на позиционном этапе. Запись: 63: 3 = 60: 3 + 3: 3. Затем наглядно могут представить прием деления более сложном случае – 693 069: 3. Комментируется и описывается: 693 069: 3 = 600 000: 3 + 90 000: 3 + 3 000: 3 + 60: 3 + 9: 3 = 200 000 + 30 000 + +1 000 + 20 + 3 = 231 023

Правильность результата проверяется умножением. Подобные примеры учащиеся могут выполнить без абака и промежуточных записей.

 

Деление многозначного числа на однозначное (письменное)

При изучении операции определения первого неполного делимого используют общий прием деления двузначного числа на однозначное. Чтобы выполнить его учащимся предлагается найти следующие частные: 81: 3, 76: 4, 65: 5, 84: 7, 91: 7. Учащиеся комментируют: «Представим делимое суммой удобных слагаемых: одно из них – самое большое число десятков, которое делится на делитель».

Затем рассматриваются более сложные частные: 920: 2, 510: 3, 840: 3. Используется тот же прием. Для первого частного такого же вида преобразование можно выполнить письменно, с комментариями.

920: 2 = (800 + 120): 2 = - Представим деление суммой удобных слагаемых, одно из которых наибольшее число сотен делится на делитель

= 800: 2 + 120: 2 = - Делим оба слагаемых на делитель

= 400 + 60 = 460 –Складываем полученные частные, правильность деления проверяется умножением.

В дальнейшем подобные примеры решаются устно.

Затем учитель объясняет деление трехзначных чисел с ненулевым разрядом единиц и в этих случаях используется прием представления делимого в виде удобных слагаемых.

Например, 852: 3 = Сначала разделим сотни.

= (600 + 252): 3 = Определим, какое наибольшее количество сотен можно разделить в делимом – 6 сотен

= 200 + 252: 3 = Разделим сотни на делитель, получим 200. Осталось разделить число 252.

= 200 + (240 +12): 3 = Будем делить десятки. В числе 252 25 десятков. Определим, какое наибольшее количество десятков можно разделить на 3 – 24 десятка или 240.

= 200 + 80 + 12: 3 = Разделим десятки, получим число 80. Осталось разделить единицы – 12: 3 = 4.

= 200 + 80 + 4 Сложим полученные разрядные числа.

=284

Выполняется проверка.

Так же подробно поясняется вычисление частного другого вида

344: 4 = Сначала разделим сотни делимого. Нужно разделить наибольшее количество сотен. Но3 на 4 не делится.

= (320 +24): 4 Поэтому б. делить десятки. Всего 33 десятка. Наибольшее количество делится на 4 – 32 десятка или 320 единиц

= 80 + 24: 4 = Разделим 32 десятка на 4, получается 8 десятков или 80 единиц.

= 80 + 6 = Разделим единицы делимого. Сложим разрядные единицы частного.

= 86

Проверим.

Далее учитель сообщает, что существует более экономная запись процесса деления и показывает образец деления углом для уже рассмотренных частных. Запись сопровождается пояснением, используется новая терминология.

Фрагмент урока.

На доске записывается углом 852: 3. Такую же запись делают учащиеся в тетради. Учитель объясняет, как расположить в тетради делимое, делитель, как начертить знак деления – угол, подсказывает, как оформить ту или иную запись.

Сначала разделим 8 сотен. Это первое неполное делимое. Определим количество сотен в частном. Из 8 сотен на 3 можно разделить 6 сотен. Делим 6 на 3, получается 2. Это первая цифра частного. Теперь разделим десятки делимого. Сколько десятков осталось в делимом? От 8 отнимаем 6, узнаем сколько сотен осталось: 2 сотни или 20 десятков. В делимом есть еще 5 десятков. Значит, нужно разделить 5 десятков. Это второе неполное делимое. Определим число десятков в частном. На 3 можно разделить 24 десятка, получим 8. Значит, вторая цифра частного – 8. Разделим единицы делимого. Узнаем, сколько единиц осталось: 25 – 24 = 1, то есть 10 единиц и еще 2 единицы. Всего 12 единиц. Это третье неполное делимое. Определим число единиц в частном: 12: 3 = 4. Значит третья цифра частного – 4.

Проверка: 284 * 3.

Рассмотрим аналогичные примеры. При объяснении учитель предоставляет учащимся возможность прокомментировать отдельные операции алгоритма.

Внимание особое на следующей операции:

1) Определение первого неполного делимого;

2) Выбор цифры частного;

3) Определение следующего неполного делимого.

Например 516: 6

(1)Первое неполное делимое 5(сотен), но 5 на 6 не делится, поэтому в качестве первого неполного делимого возьмем 51 десяток.

(2)Определим первую цифру частного: из 51 на 6 можно разделить 48 (наибольшее количество десятков). Значит и частного – 8.

(3) Определим следу4ющее неполное делимое: 51 – 48 = 3, то есть 3 десятка или 30 единиц, и еще 6 единиц, всего 36 единиц.

Это 6. Частное равно 86.

Результат проверяется умножением.

Вскоре учащимся предлагается сократить записи. Например

В упражнения на закрепление входят частные, в которых делимое имеет более трех цифр.

* Рассмотрим особые случаи: -делимое оканчивается одним или нескольким 0; -частные выражаются числом с нулями в середине.

Например, (1)

(2)

Следующее неполное делимое 0 десятков. 0: 4 ß b. Разряд десятков частного. Следующее неполное делимое 0 единиц. 0:4ßb. Разряд единиц частного. Ответ 56700.

После вычисления примера (1) учащиеся могут «догадаться», что нули делимого можно сносить в частное. Им предлагается, не выполняя деления ответить, сколько нулей будет во втором частном. Вычислив это частное, ученики видят, что догадка не верна. Учитель объясняет, что для того, чтобы не допускать ошибок при делении – нужно заранее определять, сколько цифр имеет частное. Раскрывается содержание этой операции.

Например, чтобы узнать, сколько цифр в значении частного 226800: 5, определяется смысл первого неполного делимого. Число 22 означает в делимом десятки тыс. При делении десятков тыс.в частном получаем дес.тысяч. Такие числа записываются с помощью пяти цифр. Значит, в частном пятизначное число. Можно посоветовать учащимся помечать места для цифр частного точками еще для начала деления. На конкретных примерах учащиеся убеждаются в том, что определение количества цифр в частном полезно при любом делении. Рассмотрим 4856: 8

Первое неполное деление – 48. Оно означает количество сотен в делимом, значит в частном б. получены сотни. => значение частного трехзначного числа 48: 8 = 6, первое целое число – 6.

Следующее неполное делимое – 5десятков. Число 5 на 8 не делится. Значит, в частн. Разряде десятков надо писать 0 (иначе в частном получим двузначное число) и так далее.

В дальнейшем при делении углом после выделения первого неполного делимого всегда выполняется операция определения количества цифр в частном.

Итак, в результате изучения письменного деления многозначного числа на однозначное учащиеся должны усвоить алгоритм:

1. Определить первое неполное делимое. В делимом, начиная со старшего разряда, выбирается такое наименьшее число, которое делится на делитель;

2. Определяется количество цифр в частном. Выясняется, какими разрядными единицами выражено первое неполное делимое. В частном получается соответствие разряда единицы. В нем столько цифр, сколько необходимо для записи числа с данным количеством разрядов;

3. Определяется целое частное. В неполном делителе выбирается наибольшее число, которое делится на делитель. Выполняется табличное деление;

4. Определяется неполное делимое. Вычисляется, сколько единиц осталось после деления предыдущего неполного делимого. К ним прибавляются единицы следующего разряда.

После операции 4 снова выполняется операция 3, и так до тех пор, пока можно будет образовывать неполные делимые.

В систему упражнений по отработке приема деления целесообразно включать случаи деления с остатком, так как при делении на двузначное или трехзначные числа особое значение имеет оценка промежуточных остатков. Если при делении неполного делимого остаток больше делителя, то соответственная цифра частного подобрана неверно. Например, если при делении, 345678 на 7 получается остаток 18, учащихся легко убедить, что деление выполнено не верно: в частном должно получиться пятизначное число. Напоминается, что остатки при делении на число меньше делителя.

Упражнение учащихся в делении с остатком целесообразно и для обобщения приема деления на 10 и 100. Этот прием будет использоваться в дальнейшем при делении на двузначное или трехзначные числа.

Ученики знают как разделить числа 80, 150, 1300, 1230 на 10; числа 800, 2400, 75200 на 100. Рассмотрим частные вида 23: 10,157: 10, 1236: 10, 820: 100,824: 100 и так далее.

В делимом выделяется наибольшее количество десятков (сотен). Они делятся на 10 (100) по известному правилу. Оставшаяся часть делимого и составляет остаток.

Например: 83: 10 = 8 (остаток 3) 157: 10 = 15 (остаток 7)

860: 100 = 8 (остаток 60) 571: 100 = 5 (остаток 71)

Умение делить на круглые десятки и сотни используется при подборе цифр частного при двузначном и трехзначном делителе.

Деление многозначного числа на разрядное число.

Алгоритм деления на двузначные числа осуществляется в два приема. Сначала учащиеся учатся делить на круглые десятки и сотни. Учащиеся уже знакомы с приемами деления на 10, 100 и 1000,знают алгоритм деления на однозначное число. Таким образом, деление на круглые десятки и сотни должно быть сведено к последовательному делению на 10 (100) и однозначное число. Например, чтобы разделить 4560 на 50,достаточно разделить 4560 на 10, а затем 456 – на 5.

Для того, чтобы учащиеся могли сознательно использовать этот прием необходимо или показать, что деление числа на произведение можно выполнить различными способами.

a:(b*c)=(a:b):c = (a:c):b

Требовать заучивать правило не надо. Достаточно рассмотреть несколько задач допускающих практическое, хорошо иллюстрируемое решение. Например, «Отрезок длиной 12см разделить на 6 равных частей разными способами. Определить длину полученных частей». Учащиеся выполняют это задание тремя способами:

Затем переходят к изучению приема деления на круглые десятки и сотни.

Сначала рассмотрим частные, значения которых учащиеся находят устно: 210: 70, 350: 50, 562: 40 и так далее

Учитель показывает как в данном случае может быть использован прием деления углом. Деление сопровождается пояснениями:

Первое неполное делимое 376. В частном будет одна цифра. Определим цифру частного: 376: 10, получим 37. 37 разделим на 7 получим 5. Определим, сколько единиц делимого разделили: 70 * 5 = 350

Определи, сколько единиц делимого осталось: 376 – 350 = 26. Остаток меньше делителя – цифра частного подобрана верно.

Наконец, учащиеся переходят к делению множественных чисел на круглые десятки: 19889: 70, 24810: 30, 27540: 60, 42150: 50 и так далее.

Учитывая сложность этих случав, запоминают промежуточные операции. Операция подбора цифр частного подробно поясняется. Например, «первое неполное делимое 198. В частном будет 3 цифры. Определим первую цифру частного: 198 разделим на 10, получим 19; 19 разделим на 7 получаем 3. Запоминаем 2 в частное. Выясним, сколько единиц неполного делимого разделили: 70 * 2 = 140.

Определим, сколько единиц неполного делимого осталось 198 – 140 = 58. Остаток меньше делителя, значит, цифра частного подобрана верно. Определим следующее неполное делимое….» и так далее.

Методика изучения деления числа на круглые сотни аналогична.

Сначала рассмотрим случаи, когда результат может быть вычислен устно: 4200: 700, 56000: 800,120000: 300 и так далее. Используется прием: 4200: 700 = 4200: 100: 7 = 42: 7 = 6

В более сложных случаях значение частного находится углом: «Первое неполное делимое 6785. В частном 1 цифра. Определим цифру частного: 6785 разделим на 100, получаем 67, 67 разделим на 8, получаем 8. В частном записываем 8. Вычислим, сколько единиц неполного делимого разделили: 800 * 8 = 6400. Определим, сколько единиц еще осталось разделить 6785 – 6400 = 385. Остаток меньше делителя, значит цифра частного подобрана верно».

Наконец, выполняется деление многозначных чисел на круглые сотни: 136500: 500, 246300: 300, 658400: 800 и так далее.

Работа над приемами деления на круглые десятки и сотни может проводиться параллельно.