Бесконечно малые величины и их сравнение

Модуль IV

Введение в анализ

Блок №1

Предел числовой последовательности

Числовой последовательностью называют правило, по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие действительное (комплексное) число . Последовательность обозначают символом (). Можно сказать, что последовательность является функцией (). Очевидным образом определяются сумма, произведение, частное двух последовательностей. Далее мы будем иметь дело лишь с последовательностями действительных чисел.

Число называется пределом последовательности , если для любого найдётся номер такой, что для любого выполняется неравенство . При этом пишут или и говорят, что последовательность сходится к числу .

Если , , то: 1) ; 2) ;

3) ; 4) при ().

Последовательность называется бесконечно малой, если .

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого найдётся номер такой, что для любого справедливо неравенство ; записывается это так: . Если при этом , начиная с некоторого номера, сохраняет положительный (отрицательный) знак, то пишут ().

Важную роль играет последовательность Можно показать, что эта последовательность сходится, и ее предел обозначается буквой е: е 2,718.

Задачи

Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения и понятия.

1. Определить номер такой, что при всех , если , , .

Решение. Для попробуем найти такое натуральное число , чтобы для всякого натурального выполнялось неравенство . Решим это неравенство и получим . Следовательно, , т.е. при неравенство выполняется при , начиная с . Геометрически это означает, что все члены последовательности, начиная с , содержатся в интервале .

Ответ. .

2. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ;

Решение. Неопределенность во многих пределах раскрывается делением числителя и знаменателя на старшую степень переменной.

5) ;

Решение. Неопределенность можно раскрыть, умножая и деля выражения на сопряженные к ним.

6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ; 13) .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) 0; 5) ; 6) 0; 7) ; 8) 1;

9) ; 10) 0; 11) –1; 12) ; 13) 1.

Задания для самостоятельного решения

1. Вычислить пределы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) .

Ответ. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 2; 6) ; 7) 0; 8) 0; 9) 3.

Блок №2

Элементарные функции

К элементарным функциям относятся: 1) простейшие элементарные функции: постоянная С, степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические и , обратные тригонометрические ; 2) все функции, получающиеся из простейших элементарных функций путем применения конечного числа следующих четырех операций: сложение, умножение, деление, суперпозиция функций (сложная функция).

Предел функции

Пусть функция определена во всех точках интервала , за исключением, быть может, точки . Число А называется пределом функции в точке , если для любого существует число такое, что для любого x, удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство , при этом пишут . Можно дать другое, равносильное приведенному, определение: число A называется пределом функции в точке , если для любой последовательности чисел , сходящейся к , .

Если определена в интервале , то число A называется пределом при , если для любого существует число , такое, что неравенство влечет за собой неравенство . При этом пишут или . Аналогично определяется .

Число A называют пределом функции в точке слева (справа) и пишут или (, или ), если для любого найдется такое, что для всех (для всех ) справедливо неравенство . Число A является пределом в точке , если совпадают пределы в этой точке слева и справа: .

Если функция определена в интервале (в интервале ) и для любого M существует такое, что для любого (для любого справедливо неравенство , то говорят, что левый (правый) предел функции в точке равен , и при этом пишут или ( или ). Аналогично определяются и .

Предел функции обладает теми же свойствами, что и предел последовательности: если , , то:

1) ; 2)

3) 4)

(последнее при ). То же верно для односторонних пределов.

Бесконечно малые величины и их сравнение

Функция называется бесконечно малой величиной (б.м.в.) при , если . Пусть , – б.м.в. при и ; тогда:

а) если , то говорят, что и являются б.м.в. одного порядка;

при С = 1 и называются эквивалентными б.м.в. и при этом пишут ~ ;

б) если С = 0, то называется б.м.в. более высокого порядка чем , и пишут .

При справедливы следующие соотношения, вытекающие из первого и второго замечательных пределов и непрерывности элементарных функций:

, , ;

, .

Эти соотношения используют для раскрытия неопределённостей.

Задачи

1. Пользуясь определением предела функции, доказать, что , и найти , если , , , .

Решение. Неравенство равносильно неравенству . Тогда , откуда получим . Выберем , следовательно . Из неравенства будет следовать неравенство .

Ответ. .

2. Найти предел функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ;

Решение. Подставляя в числитель и знаменатель, имеем неопределенность .

Разложим числитель и знаменатель на множители, получим

8) ;

9) , если а) , б) , в) , г) ;

10) ;

Решение. Подставляя в числитель и знаменатель, имеем неопределенность . Раскроем эту неопределенность умножением числителя и знаменателя на сопряженное выражение к иррациональному.