Элементы аналитической геометрии

Вопросы для подготовки к экзамену

Семестр

Комплексные числа

1.1.Мнимая единица. Комплексные числа в алгебраической форме. Основные понятия: вещественная, мнимая части, комплексно-сопряженные числа, взаимно - противоположные числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

1.2.Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

1.3.Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

1.4.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1.5.Действия над комплексными числами в показательной форме.

Основы линейной алгебры

2.1.Понятие матрицы, размерность и порядок матрицы. Основные виды матриц (нулевая, единичная, диагональная, треугольная, трапециевидная, транспонированная). Вырожденная матрица.

2.2.Операции над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.

2.3.Определители второго и третьего порядка, их вычисление.

2.4.Определители n –порядка. Дополнительный минор, алгебраическое дополнение. Формула Лапласа разложения определителей по элементам строки или столбца.

2.5.Свойства определителей.

2.6.Понятие обратной матрицы, ее нахождение.

2.7.Ранг матрицы, его свойства и вычисление.

2.8.Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия: однородная и неоднородная система, решение системы, совместная и несовместная система, неопределенная и определенная система, матрица и расширенная матрица системы.

2.9.Исследование линейных алгебраических систем на совместность. Теорема Кронекера – Капелли. Исследование систем n уравнений с n неизвестными.

2.10. Методы решения линейных алгебраических систем: Крамера, матричный, Гаусса; возможности применения этих методов.

Элементы векторной алгебры

3.1. Метод координат.

3.2. Понятие вектора. Коллинеарные, ортогональные, компланарные, равные векторы.

3.3. Операции над векторами в геометрической форме: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Свойства этих операций.

3.4. Действия над векторами в координатной форме.

3.5. Нахождение координат вектора по координатам начала и конца. Нахождение длины вектора.

3.6. Проекция вектора на ось. Свойства проекции.

3.7. Скалярное произведение векторов: определение, механический смысл, алгебраические и геометрические свойства, применения в механике и геометрии, вычисление в декартовых координатах.

3.8. Векторное произведение векторов: определение, механический смысл, алгебраические и геометрические свойства, применения в механике и геометрии, вычисление в декартовых координатах.

3.9. Смешанное произведение векторов: определение, геометрический смысл, свойства, применение в геометрии, вычисление в декартовых координатах.

Элементы аналитической геометрии

4.1. Прямая линия на плоскости: основные виды уравнений (общее, с угловым коэффициентом, в отрезках, каноническое, параметрическое). Угол между прямыми, условия коллинеарности и ортогональности. Расстояние от точки до прямой.

4.2. Кривые второго порядка на плоскости, общее уравнение линии второго порядка:

4.2.1. Окружность: определение, вид канонического уравнения, основные характеристики, построение.

4.2.2. Эллипс: определение, вид канонического уравнения, основные характеристики, построение.

4.2.3. Гипербола: определение, вид канонического уравнения, основные характеристики, построение.

4.2.4. Парабола: определение, вид канонического уравнения, основные характеристики, построение.

4.3. Плоскость в пространстве: основные виды уравнений (общее, неполные, в отрезках, по трем точкам). Основные способы получения уравнения плоскости, построение плоскостей. Угол между плоскостями. Условия коллинеарности и ортогональности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

4.4. Прямая в пространстве: основные виды уравнений (общее, канонические, параметрические по двум точкам). Основные способы получения уравнения прямой. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду. Угол между прямыми, условия коллинеарности и ортогональности прямых.

4.5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Условия коллинеарности и ортогональности прямой и плоскости. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости, точка пересечения прямой и плоскости.