Класична теорія дисперсії.

Лекція № 42.

Взаємодія світла з речовиною. Дисперсія світла. Закон Бугера.

Дисперсія світла – це явище, що обумовлене залежністю показника заломлення речовини від довжини хвилі або частоти:

,

де l – довжина хвилі світла у вакуумі. Першу похідну dn/dl називають дисперсією речовини. Для прозорих безбарвних речовин графік залежності n(l) у видимій частині спектра має вигляд, показаний на малюнку. Інтервал довжин хвиль, у якому dn/dl<0, відповідає нормальної дисперсії. Ті ж інтервали довжин хвиль, де дисперсія речовини dn/dl>0, відповідають аномальної дисперсії. Усі речовини в той або іншій ступені є диспергірующими. Вакуум, як показали ретельні дослідження, дисперсією не володіє. Аналітичний вид залежності n(l) в області нормальної дисперсії для не занадто великих інтервалів довжин хвиль може бути представлений наближеною формулою: , де а і b - позитивні сталі, значення яких для кожної речовини визначаються з досліду.

Класична теорія дисперсії.

Дисперсію світла можна пояснити на основі електронної теорії речовини. Відомо, що в ізотропному немагнітному середовищі . У свою чергу e можна знайти зі співвідношення e = 1 + c, де c – діелектрична сприйнятливість, що є коефіцієнтом у співвідношенні Р = ce₀Е, де Р – поляризованність, тобто дипольний момент одиниці об'єму. Таким чином:

, (1)

де P_x – проекція вектора Р на вісь X, уздовж якого відбуваються коливання вектора . Відомо, що Р_х = n₀p_x де n₀ – концентрація диполів, р_х – проекція дипольного моменту окремого диполя. Розглянемо найпростішу модель речовини, що складає з не взаємодіючих один з одним атомів. Кожен атом являє собою ядро, оточене електронами, які швидко рухаються і у сукупності як би "розмазані" по сферичній симетричній області навколо ядра. Тому прийнято говорити, що ядро з зарядом q оточено "електронною хмарою" із зарядом -q. Під час відсутності зовнішнього поля центр електронної хмари збігається з ядром, і дипольний момент атома дорівнює нулю. При наявності ж зовнішнього поля електронна хмара зміщається щодо практично нерухомого ядра, і виникає дипольний момент р = ql, де q > 0, а 1 – вектор, проведений з центра "хмари" до ядра. Проекція вектора р на вісь X дорівнює , де х – зсув центра "хмари" з положення рівноваги, тобто відносно ядра атома. З урахуванням останнього виразу можна записати:

. (2)

Як видно, задача зводиться до визначення x(t) під дією E_x(t). Для цього запишемо рівняння руху електронної хмари як , де m – маса електронної хмари, а праворуч записані проекції на вісь X квазіупружної сили, сили опору, обумовленої "тертям" хмари об ядро, і змушувальної сили з боку гармонійної електромагнітної хвилі частоти w. Магнітної складової цієї сили можна знхтувати, оскільки в нерелятивістському випадку вона мізерно мала. Розділивши останнє рівняння на m, одержуємо: , де , , . Частинний розв’язок отриманого рівняння має вигляд: , де А – амплітуда коливань, j – різниця фаз між зсувом х і силою F_mсоswt. З теорії коливань свідчить, що амплітуда і різниця фаз визначається з виразів:

, . (3)

Обмежимося найпростішим випадком, коли , тобто коли змушувальна частота не дуже близька до власної частоти коливань електронної хмари і коефіцієнт b, що характеризує загасання, досить малий. У цьому випадку, якщо w < w₀, то .

Підставивши останнє рівняння у (2) і враховуючи, що змушувальна сила , дістаємо:

, (4)

де , N₀ – концентрація електронів, Z – число електронів в атомі. Слід зазначити, що в інтервалі частот w < w₀ крива отриманої залежності погоджується з результатами експерименту.

Групова швидкість.

Строго монохроматична хвиля – це ідеалізація. Таких хвиль у природі немає. Будь-яка реальна хвиля, відповідно до теореми Фур'є, може бути представлена як суперпозиція монохроматичних хвиль з різними амплітудами і частотами w в деякому інтервалі Dw. Суперпозицію хвиль, які мало відрізняються одна від одної за частотами (Dw<<w), називають хвильовим пакетом або групою хвиль. У вакуумі всі монохроматичні хвилі, що утворять пакет, поширюються з однаковою фазовою швидкістю , де k – хвильове число (2p/l). З такою же швидкістю поширюється у вакуумі і сам хвильовий пакет, не змінюючи своєї форми. У диспергирующому середовищі хвильовий пакет розпливається, оскільки швидкості його монохроматичних складових відрізняються одна від одної, і поняття швидкості такої хвилі вимагає уточнення. Якщо дисперсія досить мала, розпливання хвильового пакету відбувається не занадто швидко. У цьому випадку хвильовому пакету можна надати швидкість u, з яким переміщається його центр мас. Ця швидкість називається груповою швидкістю. Відповідний розрахунок дає, що групова швидкість визначається як . Замінивши w через nk, дістаємо:

. (5)

Оскільки і , то вираження (5) можна переписати у вигляді: . Отриманий вираз називається формулою Релея. В області нормальної дисперсії (dn/dl > 0) групова швидкість u виявляється меншою, ніж фазова швидкість v. Під час відсутності дисперсії (dn/dl = 0), групова швидкість збігається з фазовою. Слід відзначити, що фазова швидкість монохроматичної хвилі не має нічого спільного зі швидкістю переносу енергії. Фазова швидкість встановлює тільки зв'язок між фазами коливань у різних точках простору. Інакше кажучи, монохроматична хвиля не може служити для передачі сигналу, оскільки вона не має ні початку, ні кінця в часі і просторі. Поширення сигналу зв'язане з переміщенням змін амплітуди, і в тих випадках, коли групова швидкість має сенс (тобто електромагнітний імпульс поширюється не розпливаючись), вона збігається зі швидкістю переносу енергії.