Елементарних математичних знань

У ДІТЕЙ ДОШКІЛЬНОГО ВІКУ

§ 1. Значення і завдання формування

початкових математичних уявлень і понять

у дошкільників

Проблема навчання математики в наш час набуває дедалі більшого значення. Це пояснюється насамперед бурхливим розвитком математичної науки у зв'язку з проникненням її у найрізноманітніші галузі знань.

Підвищення рівня творчої активності мас, проблеми автоматизації виробництва, моделювання на електронно-обчислювальних машинах тощо передбачають наявність у працівників більшості сучасних професій достатньо розвиненого вміння чітко й послідовно аналізувати про­цеси, які вивчаються. Це стосується, зокрема, проблем сучасної дошкільної педагогіки. Навчання в дитячому садку спрямоване на виховання у дітей звички до повно­цінної логічної аргументації всього, що нас оточує.

Розвитку логічного мислення у дошкільників найбіль­шою мірою відповідає навчання початкової математики. Для математичного стилю мислення характерні: чіт­кість, стислість, розчленованість, точність і логічна по­слідовність міркувань, уміння користуватись символі­кою. У зв'язку з цим перебудовано зміст навчання мате­матики в школі та дитячому садку.

Основна мета формування елементарних математич­них знань у дітей дошкільного віку полягає в тому, щоб дати їм математичні уявлення і початкові поняття, на­вчити їх найпростіших способів виконання математич­них дій, сформувати відповідні уміння та навички, підго­тувати до самостійного застосування цих умінь при роз­в'язанні найрізноманітніших практичних і пізнавальних завдань, сприяти розвитку особистості в цілому.

Природно, що основою пізнання є чуттєве сприйнят­тя, здобуте з досвіду та спостережень. У процесі чуттє­вого пізнання формуються уявлення — образи предметів, їхніх ознак, відношень. Так, оперуючи різноманітними множинами (предметами, іграшками, картинками, гео­метричними фігурами), діти вчаться встановлювати рів-

ність і нерівність множин, називати кількість визначени­ми словами: бі'льше, менше, порівну. Порівняння кон­кретних множин готує дітей до засвоєння в майбутньому поняття числа. Саме операції з множинами є тією осно-

_ вою, до якої звертаються діти не лише в дитячому садку, а й протягом усіх наступних років навчання у школі. Уявлення про множину формують у дітей основи розу­міння абстрактного числа, закономірностей натурального ряду чисел. Хоча поняття натурального числа, а також геометричної фігури, величини, частини та цілого абст­рактні, все ж вони відображають зв'язки і відношення, властиві предметам навколишньої дійсності.

* Доведено, що ознайомлення дітей з різними видами математичної діяльності в процесі цілеспрямованого на­вчання орієнтує їх на усвідомлення зв'язків та відно­шень.

У дітей дошкільного віку процес формування почат­кових математичних знань та умінь здійснюється так, щоб навчання давало не лише безпосередній практич­ний результат (навички лічби, виконання елементарних математичних операцій), а й широкий розвиваючий ефект. Аналіз передового педагогічного досвіду з навчан­ня дошкільнят математики переконує в тому, що, пра­вильно організоване, воно сприяє загальному розумово­му розвитку дітей. Діти дістають елементарні уявлення про множину, число, відношення величин, про найпро­стіші геометричні фігури, вчаться орієнтуватись у часі та просторі. Вони оволодівають лічбою та вимірюван­ням лінійних і об'ємних величин за допомогою умовної міри, встановлюють кількісні відношення між числами, цілим і частиною. У математичній підготовці дітей, роз­витку елементарних математичних уявлень важливу роль відіграє навчання вимірюванням як початкового способу пізнання кількісної сторони дійсності. Це дасть змогу дошкільнятам користуватися не звичайними, а умовними мірками при вимірюванні сипких, рідких та інших речо­вин. Водночас у дітей розвиваються навички вимірюван­ня на око, що дуже важливо для їхнього сенсорного роз­витку.

■ Під впливом систематичного навчання математики діти оволодівають спеціальною термінологією: назвами чисел, геометричних фігур (коло, овал, прямокутник, ромб тощо), елементів фігур (кут, сторона, вершина), обчис­лювальних дій (додавання, віднімання, порівняння) та ін.

Проте не рекомендується у роботі з дітьми вживати та­кі слова-терміни, як множина, сукупність, елемент та ін.

Заняття з математики набувають особливого значен­ня у зв'язку з розвитком у дітей пізнавальних інтересів, уміння виявляти вольові зусилля в процесі розв'язуван­ня математичних задач.

Навчальні 'завдання на занятті розв'язуються в по­єднанні з виховними. Так, вихователь учить дітей пра­вильно сидіти, не розмовляти під час заняття, уважно слухати, виконувати завдання.

Заняття з математики дисциплінують дітей, сприяють формуванню у них цілеспрямованості, організованості й відповідальності.

Отже, навчання математики з раннього віку сприяє всебічному розвитку дошкільнят.

Серед завдань формування елементарних математич­них уявлень і понять слід виділити основні, а саме:

1. Нагромадження у дошкільнят знань про множину,
число, величину, форму, простір і час.

2. Формування широкої первісної орієнтації у кіль­
кісних, просторових та часових відношеннях навколиш­
ньої дійсності; формування навичок і вмінь у лічбі, ви­
мірюванні, обчисленні та ін.

3. Оволодіння дітьми математичною термінологією,
розвиток у них пізнавальних інтересів і здібностей, ро­
зумовий розвиток дитини в цілому.

Ці завдання розв'язуються вихователем одночасно на кожному занятті з математики, а також у процесі організації різних видів самостійної дитячої діяльності. Численні психологопедагогічні дослідження та передо­вий педагогічний досвід роботи в дошкільних закладах показують> що тільки правильно організована дитяча діяльність і систематичне навчання забезпечують своє­часне і правильне формування у дошкільників найпро­стіших умінь та знань з математики.

Дослідження Г. С. Костюка, Н. О. Менчинської, Г. М. Леушиної та ін. переконують у тому, що вікові можливості дітей дошкільного віку дають змогу форму­вати в них цілком наукові, хоча й елементарні, початко­ві математичні знання. При цьому підкреслюється, що відповідно до віку дитини треба добирати й спосіб впли­ву.У зв'язку з цим на конкретних вікових етапах ство­рюються найсприятливіші умови формування визначе­них знань та умінь.

конкретних множин. Спочатку малюки беруть предмети руками, перекладають їх, а з віком діти лічать предмети, не торкаючись до них або сприймаючи лише на дотик.

Доведено, "що на основі практичних дій у дітей фор­муються такі операції, як аналіз, синтез, порівняння, узагальнення тощо. Вихователь в оцінці результатів своєї роботи повинен орієнтуватися насамперед на ці по­казники, на те, як діти вміють аналізувати, узагальню­вати, робити висновки. Рівень оволодіння дітьми розу­мовими операціями залежить від застосування спеціаль­них методичних прийомів, які дають змогу дітям вправ-лятись у порівнянні, узагальненні. Так, діти вчаться порівнювати множини за кількістю, проводячи при цьо­му структурний і кількісний аналіз множини. Порівню­ючи предмети за формою, діти виділяють довжину окре­мих параметрів, зіставляють їх між собою.

Важливим і відповідальним є завдання розвитку у дітей мислення і мови (оволодіння математичною термі­нологією). Необхідно значно більше приділяти уваги розвитку початкових навичок індуктивного і дедуктив­ного мислення, формуванню у дітей пізнавальних інте­ресів та здібностей. На жаль, досвід показує, що саме розв'язанню цього завдання у практиці роботи дитячих садків приділяється недостатньо уваги.

. Слід зазначити, що загальні розумові методи пізнан­ня становлять основу всякого наукового мислення, в то­му числі й математичного. Проте, останнє має свої особ­ливості.

На практиці іноді простежується однобічне розумін­ня здібностей, як вузько спеціальних, що межують з обда­рованістю. З цієї причини вихователі іноді недооцінюють формування у всіх дітей певних здібностей. Адже будь-яка діяльність неможлива, якщо людина не має до неї здібностей. У психології здібності визначаються як якос­ті людини, необхідні для успішного виконання діяльнос­ті (Л. А. Венгер). Для з'ясування питання, у чому кон­кретно полягають ці здібності, треба знати, яких психологічних якостей обрана діяльність потребує, без яких вона взагалі не може бути виконаною.

Здібності слід розглядати не тільки у тісному зв'язку з певним видом дитячої діяльності, а й з її загальною структурою, у якій насамперед розрізняють орієнтуваль­ні та виконавчі дії. І коли ми кажемо про загальні здіб­ності до діяльності, то маємо на увазі, наскільки дитина

здатна в орієнтувальних діях застосовувати свої знання, уміння та навички, чи високий у неї рівень пізнавальної самостійності. Все це визначає ефективність виконавчої частини. Поряд з цим необхідно формувати у дітей умін­ня абстрагувати, виділяти основне.

. Отже, математичний розвиток дітей передбачає ши­року програму залучення їх до діяльності, якою керує вихователь.

§ 2. Виникнення математики і розвиток її як науки

Питання про виникнення математики з давніх-давен цікавило багатьох вчених та педагогів-практиків. Справ­ді, цікаво знати, як виникли перші математичні поняття, як вони розвивались, поповнювались і поступово форму­вались в окрему науку. Особливо це важливо для до­шкільної педагогіки і методики формування елементар­них математичних уявлень, які вивчають особливості по­чаткового ознайомлення дитини з числом та лічбою.

Лічба та обчислення увійшли в наш побут так, що ми не можемо собі уявити дорослу людину, яка не вміє лі­чити і виконувати найпростіші обчислення. Точно неві­домо, коли з'явились у того чи іншого народу початкові математичні поняття про лічбу, множину і число, але з певністю можна сказати, що потреба порівнювати різні величини, лічити виникла з самого початку розвитку людського суспільства.

На підставі вивчення культури та мов різних наро­дів, аналізу археологічних розкопок, вивчення життя й побуту народів з низьким рівнем суспільного розвитку, а також спостереження за засвоєнням математичних знань дітьми дошкільного віку вчені висувають ряд гі­потез про те, як порівнювалися множини в дочисловий період, як формувались перші уявлення й поняття про число і натуральний ряд чисел, як у процесі розвитку людського суспільства створювались системи числення та письмова нумерація. Отже, математика виникла з по­треб людей і розвивалась у процесі їхньої практичної діяльності.

Бурхливий розвиток математики тісно пов'язаний з тим, що спочатку практика, а потім і теорія висували перед нею дедалі нові завдання. Для розв'язання прак­тичних або теоретичних завдань набутих знань не виста-

І

Так, у другій молодшій групі дитячого садка (четвер­тий рік життя) основну увагу приділяють формуванню знань про множину та число. Як зазначає О. І. Марку-шевич, поняття множини є одним з основних і найбільш загальних, воно проходить через усю математику. По­няття множини таке широке, що не означається, при­наймні на сучасному рівні розвитку математики, через інші, а вводиться як первісне і пояснюється на конкрет­них прикладах. У процесі вивчення основних властивос­тей множини формується поняття про число, перше уяв­лення про натуральний ряд чисел тощо. У дошкільному віці усвідомлення основних властивостей множини обме­жене. Однак розуміння деяких її властивостей (рівність і нерівність множин, незалежність потужності множини від якісних її ознак та ін.) можливе вже у молодшому дошкільному віці.

Поряд з формуванням у дітей початкових математич­них уявлень і понять «Програма виховання в дитячому садку» передбачає ознайомлення дітей дошкільного віку з рядом математичних залежностей і відношень. Так, ді­ти пізнають деякі відношення між множинами (рівно-потужність — нерівнопотужніїть; відношення порядку в ряді величин, натуральних чисел; часові і просторові відношення і т. д.). При цьому всі математичні знання подаються у взаємозв'язку. Наприклад, формування уявлень про кількість пов'язане з уявленням про мно­жину та величину, з розвитком умінь бачити, умовно ви­діляти величину предметів та їхніх параметрів, а також з усвідомленням відношень між предметами і їх пара­метрами. Необхідно також мати на увазі, що, засвоюючи знання про число, діти повинні навчитись абстрагувати (відокремлювати) кількісні оцінки від усіх інших (ко­лір, форму, величину тощо).

Формування початкових математичних уявлень і по­нять у взаємозв'язку дає змогу поступово і цілеспрямо­вано конкретизувати й уточнювати кожне з виділених понять. Ознайомлення дітей з мірою та вимірюванням сприяє формуванню більш точного розуміння числа й насамперед одиниці. Саме зв'язок лічби та вимірювання допомагає дитині усвідомити залежність результату ліч­би (виміру) від одиниці лічби (умовної мірки).. На заняттях з математики в дитячому садку у дітей формуються найпростіші види практичної і розумової діяльності. Під видами діяльності у цьому випадку, спо-

собами обстеження, лічби, вимірювання, розуміють об'єктивні послідовні дії, які має виконувати дитина для засвоєння знань: поелементне порівнювання двох мно­жин, накладання мірок та ін. Оволодіваючи цими діями, дитина засвоює ме^ту й засоби діяльності, а також прави­ла, що сприяють формуванню уявлень. Наприклад, по­рівнюючи рівні і нерівні між собою множини, наклада­ючи і додаючи елементи, дитина усвідомлює поняття кількості. Тому особливо велика увага приділяється роз­витку практичних дій дітей з предметами.

- Центральним завданням навчання математики в ди­тячому садку є навчання лічби. Основними способами при цьому є накладання й додавання, оволодіння якими передує навчанню лічби за допомогою слів-числівників.

Водночас дошкільнят вчать порівнювати предмети за величиною і результати порівняння визначати відпо­відним словом-поняттям (Великий, маленький, вузький, широкий і т. ін.), будувати ряди предметів за величи­ною у зростаючому та зменшуваному порядку (великі, менші, ще менші, найменші). Проте для того, щоб дити­на засвоїла й усвідомила ці поняття, необхідно сформу­вати у неї конкретні уявлення, навчити її порівнювати предмети між собою, спочатку безпосередньо, накладан­ням, а потім опосередковано, за допомогою вимірю­вання.

Програма з математики в дитячому садку передбачає розвиток окоміру дітей при формуванні оцінок величи­ни.Для цього їх навчають оцінювати величину предме­тів в цілому або за окремими параметрами, зіставляю­чи з величиною відомих предметів. Звертається увага на формування вміння перевіряти правильність оцінок у своїй практичній діяльності, застосовуючи додавання, вимірювання і т. ін. Кожна практична дія поповнює знання дітей новим змістом. Вважають, що формування елементарних математичних уявлень і понять відбува­ється одночасно з виробленням у дітей практичних вмінь та навичок.

Практичні дії, виконуючи певну роль у формуванні математичних понять, самі не залишаються незмінними. Наприклад, зазнає змін діяльність, пов'язана з лічбою. Спочатку вона спирається на практичне поелементне по­рівняння двох конкретних множин, а пізніше особливого значення набуває число, як показник потужності множи­ни, і натуральний ряд чисел, що змінює згодом одну із

чало, доводилось відшукувати нові засоби, створювати нові методи формування знань.

Походження та зміст математичної науки точно і пов­но характеризується такими словами Ф. Енгельса: «Чис­та математика має своїм об'єктом просторові форми і кількісні відношення дійсного світу, отже—дуже реаль­ний матеріал. Той факт, що цей матеріал набирає над­звичайно абстрактної форми, може лише слабо затушу­вати його походження із зовнішнього світу... Як і всі інші науки, математика виникла з практичних потреб людей: з вимірювання площ земельних ділянок і міст­кості посудин, з обчислення часу та з механіки»¹.

Дотримуючись схеми, запропонованої академіком А. М. Колмогоровим, всю історію розвитку математики можна поділити на три основні етапи.

Перший етап — найтриваліший. Він охоплює тисячо­ліття — від початку людського суспільства до XVII ст. У цей період формувались і розроблялись поняття дій­сного числа, величини, геометричної фігури. Пізніше бу­ло винайдено дії над натуральними числами, дробами, розроблено властивості й способи вимірювання довжи­ни, кутів, площ, об'єму. Великим досягненням у цей пе­ріод стало відкриття існування ірраціонального числа ти­пу У2. (Ірраціональні числа записують у вигляді нескінченного неперіодичного дробу). Характерним для першого періоду є те, що математика була поклика­на задовольняти безпосередні потреби, які виникли в господарській та військовій діяльності людини: проста лічба голів худоби, різноманітний поділ урожаю, по­рівнювання довжин різних відрізків, розпланування зе­мельних ділянок, вимірювання їхніх площ, визначення об'єму, а пізніше всілякі грошові розрахунки та ін. Ма­тематика була тісно пов'язана з астрономією, фізикою, механікою.

Відомо, що у Вавілоні та Єгипті (2 тис. р. до н. є.) розв'язували математичні задачі арифметичного, алге­браїчного та геометричного змісту. При цьому нерідко вдавались до певних правил, таблиць. Щоправда, теорій, з яких випливали б ці правила, найчастіше ще не існу­вало. Тому не дивно, що серед цих правил були й такі, які давали при деяких умовах правильні результати, при інших — помилкові. Слід також підкреслити, що нагро-

¹ Маркс К., Енгельс Ф. Анти-Дюрінг. — Твори, т. 20, с 37.

мадження математичних знань у Єгипті мало емпірич­ний характер.

Становлення математики як науки розпочалось у Стародавній Греції, де були значні досягнення в галузі геометрії. Саме у Греції, починаючи з VII ст. до н. є., розробляється математична теорія. З науки практичної математика перетворюється у логічну, дедуктивну.

Знаменною подією в історії розвитку математики була поява більш як за 300 р. до н. є. класичного твору Евклі-да, де систематично викладено геометрію приблизно в обсязі, в якому вона тепер вивчається у середній школі. Крім того,у ньому подано дані про подільність чисел та розв'язування квадратних рівнянь. У III ст. до н. є. Архі-мед знайшов спосіб визначення площ, об'ємів і центрів ваги різних простих фігур. Наприкінці III ст. до н. є. Аполлоній написав книгу про властивості деяких чудо­вих кривих — еліпса, гіперболи та параболи.

Проте в епоху рабовласницького суспільства розви­ток науки відбувався дуже повільно. Це пояснюється на­самперед відривом теорії від практики, пануванням пе­реконань, що справжня наука не повинна цікавитись життєвими потребами людей, що застосовувати науку на практиці — означає принижувати її. У цей період у Ста­родавній Греції панувала ідеалістична філософська шко­ла Платона, яка встановила в математиці ряд заборон та обмежень, негативне значення яких відчувається іно­ді й досі (наприклад, штучне обмеження користування лише циркулем та лінійкою при геометричних побудо­вах). Однак уже тоді були вчені, які правильно розгля­дали взаємовідношення теорії і практики, досвіду та логіки, логічної дедукції. До них слід віднести Архімеда, Демокріта, Евкліда.

Одночасно з грецькою і, в основному, незалежно від неї розвивалась математична наука в Індії, де не було характерного для грецької математики відриву теорії від практики, логіки від досвіду. І хоч індійська мате­матика не досягла рівня розвитку математики греків, вона створила чимало цінного, що увійшло у світову нау­ку й збереглось до нашого часу (десяткова система чис­лення, розв'язування рівнянь 1-го та 2-го степеня, вве­дення синуса і т. д.).

Спадкоємцями як грецької, так і індійської матема­тичної науки стали народи, які об'єднались у VIII ст. арабським халіфатом. Серед них надзвичайно важливу

роль в історії культури відіграли народи Середньої Азії та Закавказзя (узбеки, таджики, азербайджанці), що нині входять до складу СРСР.

Наукові праці писались тоді арабською мовою, яка була міжнародною мовою країн Близького та Середньо­го Сходу. Починаючи з VIII ст., на арабську мову пе­рекладаються твори індійських і грецьких математиків, завдяки чому з ними змогли ознайомитись європейці. Період з XII по XV ст. характеризується початком оволо­діння вченими Європи стародавньою математичною нау­кою. Цього вимагали торгові операції великого масшта­бу. На латинську мову почали перекладати наукові тво­ри і перші підручники з математики, написані в Азії.

Наприкінці XV ст. було запроваджено книгодруку­вання, яке істотно прискорило розвиток математики як науки взагалі. У XVI ст. було зроблено кілька визнач­них математичних відкриттів: знайдено розв'язування рівнянь 3-го і 4-го степеня в радикалах, встановлено ме­тоди наближеного обчислення коренів рівнянь будь-яко­го степеня з числовими коефіцієнтами, досягнуто ве­ликих успіхів у справі створення алгебраїчної символі­ки і т. ін.

На підставі археологічних даних, літописів можна дійти висновку, що загальний рівень математичних знань на Русі у XII—XVI ст. був не нижчим, ніж у Західній Європі того часу, незважаючи на татарську неволю, яка довго гальмувала дальший розвиток культури.

Другий етап розвитку математики за тривалістю значно коротший, ніж перший. Він охоплює XVII — по­чаток XIX ст. З XVII ст. починається розквіт математики у Європі. У цей час зароджуються нові галузі математи­ки, що належать до так званої вищої математики. Осно­ву вищої математики становлять аналітична геометрія, диференційне та інтегральне числення. Виникнення їх, пов'язане з іменами великих учених XVII ст. — Декарта, Ферма, Ньютона, Лейбніца, — дало змогу математично вивчати рухи, процеси зміни величин та геометричних фігур. Разом з тим у математику було введено систему координат, змінні величини і поняття функції.

Найвизначнішими відкриттями філософії цього періо­ду є визнання загальності руху і зміни. Ф. Енгельс писав: «...вся природа, починаючи від найдрібніших частинок її до найбільших тіл, починаючи від піщинок і кінчаючи сонцями, починаючи від протистів і кінчаючи людиною,

перебуває у вічному виникненні і зникненні, у безперерв­ному потоці, у невпинному русі і зміні»¹.

Слід зазначити, що на першому етапі математика не­досконало відбивала кількісні відношення і просторові форми дійсності. На другому етапі розвитку математики основним об'єктом вивчення стали залежності між змін­ними величинами. Принципову важливість цього періо­ду характеризують слова Ф. Енгельса: «Поворотним пунктом у математиці була Декартова^зланна величина. Завдяки цьому в математику ввійшли рух і тим самим діалектика і завдяки цьому ж стало негайно необхідним диференціальне і інтегральне числення...»².

Особливо бурхливо на цьому етапі розвивалась ма­тематика в Росії. У XVIII ст. з'явилось багато рукописів математичного змісту, присвячених арифметиці та гео­метрії. Саме тоді вийшла книга з елементарної матема­тики Л. Ф. Магницького, видана у 1703 р. під назвою «Арифметика». За цією книгою готувався з математики М. В. Ломоносов.

Л. Ф. Магницький був досить^ освіченою людиною свого часу. Він закінчив Московську слов'яно-греко-ла-тинську академію, де здобув різносторонню освіту, зо­крема, математичну. Знаючи багато європейських мов, Л.Ф. Магницький ознайомився з методичною літерату­рою різних країн. Свої знання він виклав у книзі, яка стала першим російським підручником з арифметики. За своїм характером підручник не був суто академічним. Часто думки викладались у віршовій формі, текст супро­воджувався символічними малюнками. Проте це був більш-менш систематизований виклад початкової мате­матики. Крім того, у підручнику було вміщено матеріал з алгебри, геометрії і тригонометрії.

У 1724 р. була заснована Петербурзька академія наук, де з 1727 р. працював Д. Ейлер, який опублікував значну частину своїх праць у виданнях Академії (473).

У 1755 р. завдяки турботам видатного російського вченого М. В. Ломоносова був заснований перший ро­сійський університет у Москві. З'явились численні ро­сійські переклади кращих іноземних підручників з мате­матики, а також ряд оригінальних російських підручни­ків з арифметики, алгебри, геометрії, тригонометрії та

¹ Маркс К., Енгельс Ф. Твори, т. 20, с 333—334.

² М а р к с К., ЕнгельсФ. Твори, т. 20, с. 531.

аналізу, що не поступались науковим рівнем перед кра­щими західноєвропейськими підручниками того часу.

Третій етап розвитку математики — з XIX ст. до на­ших днів. Характеризується він інтенсивним розвитком класичної вищої математики. Математика стала наукою про кількісні і просторові форми дійсного світу у взає­мозв'язку їх. Вона переросла попередні рамки, які обме­жували її вивченням чисел, величин, процесів зміни гео­метричних фігур та їхніх перетворень, і стала наукою про більш загальні кількісні відношення, для яких числа й величини є лише окремим випадком.

Великий внесок у розвиток науки математики зроби­ли російські та радянські вчені (М. І. Лобачевський, П. Л. Чебишев, А. М. Колмогоров та ін.). Сучасна мате­матика досягла дуже високого рівня розвитку. Тепер на­лічується кілька десятків різних галузей математики, кожна з яких має свій зміст, свої методи дослідження і сфери застосування.

У другій половині XX ст. виникла математична еко­номіка, математична біологія та лінгвістика, математич­на логіка, теорія інформації та ін.

Сучасний розвиток суспільства, економіки й культу­ри передбачає високий рівень обробки інформації. Роз­в'язання багатьох наукових та господарських завдань неможливе без використання обчислювальної техніки, створення спеціальних приладів і машин. Нині широко використовуються обчислювально-аналітичні й електрон­но-обчислювальні машини, які працюють з недоступною для людини швидкістю.

В середині XX ст. виникла кібернетика — нова мате­матична наука. Кібернетика — наука про керування, зв'язки та переробку інформації. Засновником її вважа­ється американський математик Норберт Вінер, який опублікував у 1948 р. книгу під назвою «Кібернетика, або керування і зв'язок у живому організмі та машині». Кібернетика виникла завдяки синтезуванню даних ціло­го ряду суміжних наукових дисциплін: теорії інформа­ції,теорії ймовірностей, автоматів, а також даних фізіо­логії вищої нервової діяльності, сучасної обчислюваль­ної техніки та автоматики.

Кібернетика — одна із наймолодших математичних наук, їй всього кілька десятків років, але перспективи її розвитку величезні. Кібернетичні машини керують по­льотом космічних кораблів, вони перебувають на службі

у медицини та ін. Однак усі ці машини створює й будує сама людина. Все це продукт людського генію, результат його знань, де провідне місце займають математичні науки.

Отже, математика, що виникла із практичних потреб людини, перетворилась у науку, яка забезпечує дальший розвиток суспільства.

§ 3. Множини та операції над ними

Як і кожна наука, математика має свої основні по­няття, якими вона оперує: множина, число, лічба, вели­чина та ін. Вихідним змістом багатьох математичних по­нять є реальні предмети та явища навколишнього життя і діяльності людей. Саме про це писав Ф. Енгельс: «По­няття числа і фігури взяті не звідки-небудь, а тільки з дійсного світу. Десять пальців, на яких люди вчилися лічити, тобто робити першу арифметичну операцію, являють собою все, що завгодно, тільки не продукт віль­ної творчості розуму. Щоб лічити, треба мати не тільки предмети, які підлягають лічбі, але й мати вже здібність абстрагуватися при розгляді цих предметів від усіх інших їх властивостей крім числа, а ця здібність є результат довгого історичного розвитку, що спирається на дос­від» '.

Первісним поняттям у математиці є поняття множи­ни. Множина — це сукупність об'єктів, що розглядають­ся як одне ціле.

Людина завжди була оточена різноманітними мно­жинами: множина зіро.к на небі, рослин, тварин навколо неї, множина різних звуків, частин власного тіла та ін. Множина на відміну від невизначеної множинності може мати межі і бути охарактеризована числом. Число пока­зує кількість елементів або кількість груп у множині. Тоді вважають, що число позначає потужність множини.

На початку розвитку лічильної діяльності порівнян­ня множин здійснювалося поелементно, один до одного. Елементами множин називають об'єкти, що становлять множину. Це можуть бути реальні предмети (речі, іграш­ки, картинки), а також звуки, рухи, числа тощо. Порів­нюючи множини, людина не тільки виявляє рівність чи нерівність множин, а й відсутність у множині того чи ін-

¹ Маркс К-, Енгельс Ф. Твори, т. 20, с 36—37.

. шого елемента, тієї чи іншої його частини. Є два способи визначення потужності множини: перший — перелічу­ванням усіх її елементів та називанням результату чис­лом; другий — виділенням характеристичної особливості множини.

Елементами множини можуть бути не тільки окремі об'єкти, а й їх сукупності. Наприклад, при лічбі парами, трійками, десятками і т. ін. У цих випадках елементами множини стає не один предмет, а два, три — сукупність. Основними операціями з множинами є такі: об'єд­нання, переріз і віднімання.

Об'єднанням (сумою) двох множин називають третю множину, яка містить усі елементи цих множин. Проте сума множин не завжди дорівнює сумі чисел еле­ментів множин. Вона дорівнює сумі чисел елементів тільки тоді, коли в обох множинах немає спільних еле­ментів. Якщо є спільні елементи, то в суму вони вводять­ся лише один раз. Наприклад, у загадці: двоє батьків і двоє синів, а всього їх троє, бачимо приклад об'єднання множин, коли сума множин не дорівнює сумі чисел. Оскільки одна й та сама особа включалась двічі у першу та в другу множини, вона перелічується тільки один раз. Або, наприклад, щоб визначити кількість предметів, що вивчаються учнями педучилища в семестрі, необхід­но з розкладу кожного дня зробити вибірку: до множин предметів, які вивчають учні в понеділок, додати не всі уроки наступних днів тижня, а лише ті, що не назива­лись у попередніх днях тижня. Таким чином, кількість предметів буде меншою за загальну кількість уроків на тиждень, бо є предмети, які повторюються у різні дні.

Дії над множинами найкраще зображати графічно. На рис. 1 зображено об'єднання множин.

Перерізом двох множин називається множина, яка містить усі їхні спільні елементи. На рис. 2 перері­зом множин є два трикутники, що. належать одночасно і першій і другій множинам.

При відніманні двох множин дістаємо третю множи­ну, яка називається різницею. Різниця містить елемен­ти першої множини, які не належать другій. На рис. З заштрихована частина є різницею двох множин.

Характеризуючи множини у математиці, застосову­ють такі поняття: скінченна і нескінченна множини, рів-нопотужні і нерівнопотужні, одноелементна, порожня мно­жина, частина множини чи підмножина. Дітей раннього

і дошкільного віку ознайомлю­ють з конкретними скінченни­ми множинами. Але для того, щоб сформувати уявлення і по­няття про множину, треба ці­леспрямовано працювати з ді­тьми у всіх вікових групах. Знання дітей про множину, елементи множини забезпечу­ють фундамент, основу для формування поняття числа.

§ 4. Історія розвитку натурального числа

Розглядаючи питання формування поняття натураль­ного числа у дітей, треба мати чітке уявлення про роз­виток цього поняття в історичному аспекті — філогенезі. Вивчення історії математики, зокрема періоду зароджен­ня математики, дає змогу зрозуміти основні законо­мірності виникнення перших математичних понять (про множину, число, величину, про арифметичні дії, сис­теми числення та ін.) і використовувати ці закономір­ності з урахуванням досвіду сучасних дітей при навчан­ні їх математики.

Як показують дослідження з історії математики, по­няття натурального числа виникло на ранніх ступенях розвитку людського суспільства, коли у зв'язку з прак­тичною діяльністю виникла потреба якось кількісно оцінювати сукупності. Спершу кількість множин не від­окремлювалась від самих множин, сприймалась і утриму­валась в уявленні людини з усіма якостями, просторови­ми та кількісними ознаками. Людина не тільки оцінюва­ла сукупність щодо її цілісності (всі чи не всі предмети