Примеры комбинаторных конфигураций и задач

 

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…,n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.

Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.

Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

 

Примерами комбинаторных задач являются:

Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящикам так, чтобы выполнялись заданные ограничения?

Сколько существует функций F из m-элементного множества в n-элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям?

Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт?

Ответ: 52! (52 факториал) то есть 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8.0658 × 10⁶⁷.

При игре в кости бросаются две кости и выпавшие очки складываются, сколько существует комбинаций, таких, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати?

Решение: Каждый возможный исход соответствует функции (аргумент функции — это номер кости, значение — очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6+6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или, другими словами, существует всего одна комбинация, такая, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.

 

10. Представление бинарных отношений графами.

Под бинарным отношением на множестве M мы понимаем произвольное подмножество EМMxM.

Графом отношения называется ориентированный граф, в котором любая дуга (v,w) существует только в том случае, если элементы v и w, представляемые вершинами v и w, находятся в данном бинарном отношении r, т.е. vrw.

 

Граф отношения является наглядной формой представления отношения r, так как он полностью перечисляет все упорядоченные пары вершин-элементов, для которых отношение r имеет место. Граф отношения может обладать специальными свойствами: рефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью и т.д., отражающими соответствующие свойства отношения.

 

(а) Отношение r называется рефлексивным на множестве M, если для всякого aОM верно a ra. Отношение r называется нерефлексивным на множестве M, если ни для какого aОM не выполняется a ra.

(б) Будем говорить, что граф отношения является рефлексивным, если каждая вершина имеет петлю, и антирефлексивным, если ни одна вершина петли не имеет.

 

(а ) Отношение r называется симметричным на множестве M, если для каждой пары a и b элементов M из a rb следует bra. Отношение r называется антисимметричным на множестве M, если для несовпадающих элементов a и b из arb следует не bra.

(б) Будем говорить, что граф отношения является симметричным, если каждой дуге (v,w) соответствует дуга (w,v), и антисимметричным, если каждая дуга (v,w) исключает существование дуги (w,v) (заметим, что антисимметричный граф может как иметь петли, так и не иметь их!).

 

(а ) Отношение r называется транзитивным на множестве M, если для любых трех элементов a,b и g, принадлежащих M, из arb и brg следует arg. Отношение r называется антитранзитивным на множестве M, если для любых трех элементов a,b и g, принадлежащих M, из arrb и brg следует не arg.

(б) Будем говорить, что граф отношения является транзитивным, если существование дуг (v,w) и (w,u) означает существование дуги (v,u), и антитранзитивным, если существование дуг (v,w) и (w,u) означает несуществование указанной дуги. ¦¦¦