Базис у вигляді класичних ортогональних поліномів

ЛЕКЦІЯ № 6

АПРОКСИМАЦІЯ ФУНКЦІЙ БАГАТОЧЛЕНАМИ

Загальний алгоритм

З попередньої лекції нам відомо, якщо набір експериментальних даних отриманий з суттєвою похибкою, то не має сенсу застосовувати інтерполяцію, зокрема методом Лагранжа чи сплайнами, для обробки результатів. У цьому випадку доцільно провести апроксимаційну криву, яка не проходить через експериментальні точки, але в той же час відображає досліджувану залежність, згладжує можливі викиди, які обумовлені наявністю похибок в експерименті.

Позначимо вузли таблиці експериментальних даних через х_і, де –

номер вузла. Вважаємо відомими значення експериментальних даних у вузлових точках Вводимо неперервну функцію для апроксимації дискретної залежності У вузлах функції і будуть відрізнятися на величину Для того, щоб не враховувати знаки підносимо його значення в квадрат і знаходимо суму по всіх вузлах:.

(6.1)

Нагадаємо, що метод побудови апроксимуючої залежності функції за умови мінімуму величини Q називається методом найменших квадратів (МНК).

Найбільш поширеним є вибір функції у вигляді наступної лінійної комбінації:

(6.2)

де – базисні функції;

с ₀, с ₁, …, с_m – деякі постійні.

Математично умови суми квадратів відхилень Q можна знайти, прирівнявши нулю частинні похідні від Q по коефіцієнтах

Із системи цих лінійних алгебраїчних рівнянь визначаються всі коефіцієнти Ця система називається системою нормальних рівнянь. Її матриця має вигляд:

і називається матрицею Грама. Елементи матриці Грама є скалярними добутками базисних функцій

Розширена матриця системи лінійних алгебраїчних рівнянь виходить додавання справа до матриці Грама стовбцю вільних членів

,

де скалярні добутки, які є елементами стовбцю, визначаються за формулою

Матриця Грама має наступні властивості, корисні при програмній реалізації алгоритмів МНК:

1) матриця симетрична, тобто , що дозволяє зменшити обсяг обчислень при заповненні матриці;

2) матриця є позитивно визначеною, тому при розв’язанні системи нормальних рівнянь методом виключення Гауса можна відмовитися від процедури вибору головного елемента;

3) визначник матриці буде відрізнятися від нуля, якщо за базис функції будуть вибрані лінійно незалежні функції при цьому система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдине рішення.

При обробці експериментальних даних, визначених з похибкою ε в кожній вузловій точці, зазвичай починають з апроксимації функцією , поданою однією-двома базисними функціями. Після визначення коефіцієнтів розраховують величину Q. Якщо , то необхідно розширити базис додаванням нових функцій . Розширення базису продовжують до тих пір, поки не буде виконана умова .

Вибір конкретних базисних функцій залежить від властивостей функції , таких як періодичність, характер експоненціальний або логарифмічний, симетричність, наявність асимптоти тощо.

Степеневий базис

Візьмемо базисні функції у вигляді послідовності степеню аргументу х, які лінійно незалежні:

У цьому випадку, як і при інтерполяції, будемо апроксимувати експериментальну залежність поліномом. Але степінь поліному m зазвичай вибирають так, щоб (при лагранжевій інтерполяції ).

Апроксимуюча крива в МНК не проходить через вузлові точки, але вона будується за умови найменшого сумарного квадратного відхилення. Експериментальні дані "згладжуються" за допомогою функції . Якщо обрати , то на підставі єдності інтерполяційного поліному отримаємо функцію , яка збігається з інтерполяційним поліномом степеня , апроксимована крива пройде через усі експериментальні точки і величина Q буде дорівнювати нулю. Ця обставина застосовується при налагодженні і тестуванні програм, що реалізують МНК

Запишемо розширену матрицю системи нормальних рівнянь для степеневого базису:

Неважко побачити, що для формування цієї розширеної матриці, достатньо обчислити тільки елементи першого рядка і двох останніх стовбців, решта елементів не є "оригінальними" і заповнюються за допомогою циклічного присвоювання.

Для розв’язання систем рівнянь з матрицею Грама розроблені методи сингулярного розкладу. Якщо ж , то такі системи можна розв’язувати і більш простим методом виключення Гауса.

Базис у вигляді класичних ортогональних поліномів

Вибір базисних функцій у вигляді степенів х не є оптимальним з точки зору розв’язання системи нормальних рівнянь з найменшими похибками. Прийнятні результати можна отримати тільки в тому випадку, якщо набір експериментальних даних з задовільною похибкою вдається апроксимувати поліномом невисокого степеня

Спочатку визначимося з поняттям ортогональності функцій. Дві функції і називаються ортогональними в проміжку (a, b), якщо інтеграл добутку , взятий у межах від а до b, дорівнює нулю.

Приклад. Функції

і

ортогональні в проміжку , бо

При апроксимації експериментальних даних кращі результати можна отримати, якщо застосувати ортогональні поліноми Чебишева, Лежандра, Лагера, Якобі та інші як базисні функції. Властивість ортогональних класичних поліномів є в тому, що для кожного типу поліномів існує відрізок , на якому перетворюються в нуль скалярні добутки поліномів різного порядку з ваговою функцією

У випадку великої кількості вузлів х_і на відрізку ці скалярні добутки близькі до дискретних скалярних добутків

оскільки інтегрування можна наближено замінити підсумовуванням. Отже, недіагональні елементи матриці Грама матимуть невелику абсолютну величину, що дозволить зменшити похибку розв’язання системи нормальних рівнянь.

Заданий інтервал , в якому розташовані всі вузли апроксимованої функції, за допомогою лінійного перетворення завжди можна привести до відрізку , де визначені й ортогональні базисні функції .

Спочатку розглянемо поліноми, які застосовуються в якості базисних функцій .

Поліноми Чебишева. При і поліноми Чебишева визначаються явними формулами

а при рекурентною формулою

Явні формули для поліномів Чебишева при мають вигляд

Аналогічно можна записати явні формули і при

Приведемо деякі властивості поліномів Чебишева.

1. При парному багаточлен містить тільки парні степені х і є парною функцією, а при непарному багаточлен містить тільки непарні степені х і є непарною функцією.

2. При старший коефіцієнт багаточлена дорівнює , тобто

3. Для справедлива формула

При і ця формула вірна, оскільки Для того, щоб довести справедливість формули для всіх , достатньо показати, що функція задовольняє такому ж, як і багаточлен Чебишева, рекурентному співвідношенню

Це співвідношення можна отримати, якщо в тригонометричній тотожності

покласти і

Графіки поліномів для мають вигляд, показаний на рис. 6.1.

Поліноми Лежандра. При і поліноми Лежандра визначаються явними формулами

а при рекурентною формулою

.

Явні формули для поліномів Лежандра при мають вигляд

 

Графіки поліномів для мають вигляд, показаний на рис. 6.2.

Поліноми Лагера. При і поліноми Лежандра визначаються явними формулами

а при рекурентною формулою

.

Явні формули для поліномів Лежандра при мають вигляд

Графіки поліномів для мають вигляд, показаний на рис. 6.3.

6.4. Апроксимація тригонометричними поліномами
(гармонійний аналіз)

В випадку, коли за допомогою попереднього аналізу результатів інженерного або наукового експерименту функція, яка досліджується, має періодичний характер (рис.6.4), то для апроксимації таких функцій звичайно використовують ортогональні поліноми Фур’є, які мають вигляд:

.

Багато задач науки і техніки пов’язані з періодичними функціями, які відображають циклічні процеси.

Функція називається періодичною з періодом , якщо вона задовольняє рівності

З практичних міркувань такі функції зручно подавати у вигляді тригонометричного поліному або його часткової суми із заданою обчислювальною похибкою ε.

Поліном виду

називається тригонометричним, причому a_n і b_n – дійсні числа, які не залежать від х.

Нехай цей ряд збігається для будь-якого х з інтервалу , тоді він визначає періодичну функцію з періодом .

Рядом Фур’є називається ряд, коефіцієнти якого обчислюються за наступними формулами:

Для неперервної на замкнутому проміжку функції , яка не має екстремумів, ряд Фур’є збігається на всьому проміжку. Сума його дорівнює для будь-якого значення х всередині проміжку . На обох же кінцях сума ряду дорівнює

тобто середньоарифметичному між і .

Приклад. Розглянемо функцію , яка неперервна в замкнутому проміжку і не має екстремумів. Коефіцієнти а ₀, а ₁, а ₂, … її ряду Фур’є дорівнюють нулю. Дійсно,

Перший доданок після підстановки перетворюється в і в сумі з другим дає нуль:

.

Коефіцієнти знаходяться інтегруванням по частинам

Ряд Фур’є для функції х має вигляд

. (6.3)

При його сума дорівнює

При сума дорівнює

Це очевидно, оскільки всі члени ряду перетворюються в нуль.

На рис. 6.5, на якому зображений графік 5-ї частинної суми ряду Фур’є для функції

дає уявлення про ступінь близькості між частинною сумою ряду (6.3) всередині проміжку і самою функцією Графік коливається відносно прямої у = х; для одних значень х виходять недостатні значення, для других – надлишкові.

Лінія проходить через точки і тому поблизу цих точок різко відривається від прямої у = х.

Картина залишається тією ж самою і для наступних частинних сум Тільки розмір проміжку, де спостерігається різкий відрив, необмежено зменшується із зростанням n.

Теоретичні та практичні засоби використання ряду Фур’є замість функції в задачах моделювання та обробки результатів інженерних і наукових експериментів називаються гармонійним аналізом. При практичних розрахунках необхідно обмежитися тільки кількома першими членами ряду Фур’є. В результаті можна отримати лише наближений вираз для функції у вигляді тригонометричного поліному n -го порядку