Короткі теоретичні відомості. Визначення швидкості поширення звуку в твердому тілі і модуля Юнга

Визначення швидкості поширення звуку в твердому тілі і модуля Юнга

Мета роботи. Ознайомитися з одним із способів отримання стоячих звукових хвиль та виз­начити швидкість звуку і модуля Юнга шляхом вимірювання резонансних частот повздовжніх звукових коливань в стержнях, виготовлених із слабопоглинаючих звук матеріалів (метали).

Прилади та матеріали: установка для вивчення поширення звуку у твердому тілі ВФ-02: стержні (сталь, алюміній, латунь), звуковий генератор із теле­фо­ном, осцилограф, мікрофон.

Короткі теоретичні відомості.

 

При поширенні звуку в ізотропних твердих тілах спостерігаються як подовжні, так і поперечні хвилі, причому швидкість їх поширення залежить від пружних властивостей тіл, крізь які проходить хвиля.

Для цього розглянемо деякий елемент, який умовно вирізаний в суцільному пружному середовищі, скажімо довгий пружний стержень (мал. 14.1). Нехай на крайній переріз стержня подіяв короткочасний імпульс сили, перпендикулярний перерізу (удар молотком). Частинки середовища, які знаходяться в крайньому перерізі, набувають прискорення у напрямі дії сили і зміщуються. Сусідній шар внаслідок інерції виявляється деформованим і в ньому виникають пружні сили, які прагнуть відновити первинний об’єм. Під дією пружних сил, що напрямлені проти швидкості частинок першого шару, ці частинки зупиняються, та зате набувають швидкості частинки другого шару. Це приводить до зникнення деформації в другому шарі і до виникнення її в третьому. Зсув частинок і деформація передаються далі від шару до шару.

Знайдемо швидкість поширення імпульсу. Покладемо, що у момент t імпульс стиску досягнув перерізу вг. В цей момент на переріз вг діє сила F, яка дорівнює силі з якою був нанесений удар по перерізу аб (якщо сили внутрішнього тертя є малими і ними можна знехтувати). Під дією сили F, частинки які лежать перед перерізом вг були стиснуті. Покладемо, що величина відносного стиску дорівнює . Оскільки стержень однорідний, то зміну густини можна вважати пропорційною стиску , де - густина недеформованого стержня.

Стиск і ущільнення, очевидно, поширюються із загальною швидкістю, яку позначимо с. За час через переріз вг буде переміщена маса:

, де .

Відповідно, момент імпульсу:

. (1)

Цей момент імпульсу дорівнює імпульсу сили, яка діє на переріз:

. (2)

Прирівнявши праві частини рівності (1) і (2), отримаємо:

,

або

(3)

Відмітимо, що ми не накладали ніяких обмежень на характер середовища, з якого вирізаний стержень (крім того, що воно пружне і суцільне). Таким чином, співвідношення (3) справедливе для твердих, рідких і газоподібних середовищ.

Так як і , то

, (4)

Якщо імпульс поширення в ізольованому елементі середовища, повздовжні розміри якого набагато більші поперечних (стержень, провід і т.д.), то коефіцієнт пружності пов'язаний з модулем Юнга відомим співвідношенням Відповідно, швидкість поширення повздовжніх хвиль у стержні:

(5)

де – швидкість поширення повздовжньої звукової хвилі, Е – модуль Юнга матеріалу, з якого зроблений стержень, і – його густина.

Для збудження подовжніх коливань в стержні достатньо яким-небудь чином викликати в одному з його кінців поперемінне стискання і розтягування у напрямі довжини. Завдяки дуже малому згасанню пружної хвилі в стержні і її повному відбиванню на межі розділу стержень - повітря при певних частотах коливань встановлюються стоячі хвилі. Якщо стержень закріплений посередині, то при такому збудженні вузол стоячої хвилі знаходиться в місці закріплення, а пучності - на кінцях стрижня. В цьому випадку на стержні вкладається непарне число λ/2, оскільки відстань між вузлами дорівнює половині довжини хвилі. Цю умову можна записати так:

(6)

де L - довжина стержня, λ - довжина біжучої хвилі, п = 0, 1, 2, 3.

Скориставшись рівностями:

(7)

(8)

де - довжина стоячої хвилі

А – пучності, В – вузол.

- частота генератора.

можна отримати формулу для знаходження швидкості поширення подовжньої звукової хвилі в стержні:

(9)

Визначивши резонансні частоти v, при яких встановлюються стоячі хвилі, можна знайти швидкість поширення подовжніх хвиль в стержні, для випадку коли п = 0:

(10)

а звідси і модуль Юнга:

(11)