Примеры выполнения заданий

Лабораторная работа №1

Численное интегрирование

 

 

а) Пусть отрезок интегрирования [ a, b ] разбит на n частей с шагом h=(b–a)/n.

Тогда (формула левых прямоугольников); (7.11)

(формула правых прямоугольников); (7.12)

(формула средних прямоугольников), (7.13)

где (i= 0, 1, 2 ,…,n).

Остаточные члены этих формул соответственно равны

; (7.14)

; (7.15)

, (7.16)

где .

 

б) Формула Ньютона – Котеса

(7.17)

где

Коэффициенты определены заранее и могут быть взяты из таблицы (табл.44).

 

Таблица 44

n

 

в) Формула трапеций имеет вид

(7.18)

где причём

, a£ e £ b. (7.19)

г) Формула Симпсона (число n – обязательно чётное)

(7.20)

причём

, a£ e £ b. (7.21)

д) Формула Гаусса

(7.22)

где (7.23)

 

Значения t_i и C_i берутся из таблицы (табл.45)

Таблица 45

n
		С 1 = 2,000000
		С 1 =С2 =1,000000

 

е) Экстраполяция по Ричардсу

Пусть и – два приближённых значения , найденных по одной и той же формуле при n ₁ и n ₂ (n ₂> n ₁). Тогда более точное значение этого интеграла можно найти по формуле:

(7.24)

где m - порядок остаточного члена выбранной формулы (например, для формулы трапеции m = 2, для формулы Симпсона m = 4).

 

Примеры выполнения заданий

 

Задание 1. а) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая точность с помощью сравнения полученных результатов:

 

I= ;

б) Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при n₁= 8; n₂= 10:

I= .

Решение

а) Для вычислений по формулам левых и правых прямоугольников при n =10 разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом .

Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка (табл.46).

В таблице найдены значения сумм ; .

Найдем приближенные значения интеграла. По формуле левых прямоугольников получим

.

Таблица 46

	1,50 1,58 1,66 1,74 1,82 1,90 1,98 2,06 2,14 2,22 2,30	1,650 1,674 1,698 1,722 1,746 1,770 1,794 1,818 1,842 1,866 1,890	1,2845 1,2938 1,3031 1,3122 1,3214 1,3304 1,3394 1,3483 1,3572 1,3660 1,3748	1,6583 1,7310 1,8043 1,8782 1,9525 2,0273 2,1025 2,1780 2,2538 2,3299 2,4062	4,0583 4,2590 4,4603 4,6622 4,8545 5,0673 5,2705 5,4740 5,6778 5,8819 6,0862	0,3165 0,3037 0,2922 0,2815 0,2716 0,2626 0,2541 0,2463 0,2390 0,2322 0,2259

 

По формуле правых прямоугольников находим

.

Эти результаты отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных

.

б) Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников

.

Вычисления выполним дважды при n₁ = 8 и n₂ =10 и соответственно при h ₁ = (b-a) /n ₁= (1,2–0,4)/10=0,08. Результаты вычислений приведены в табл. 47 и 48.

Таблица 47

	0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1	0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 1,05 1,15	0,53963 0,58914 0,63654 0,68164 0,72429 0,76433 0,80162 0,83603	1,86750 1,76824 1,64832 1,50947 1,35550 1,19300 1,03186 0,88559	0,28896 0,33318 0,38618 0,45158 0,53433 0,64068 0,77687 0,94404

Таблица 48

	0,40 0,48 0,56 0,64 0,72 0,80 0,88 0,96 1,04 1,12	0,44 0,52 0,60 0,68 0,76 0,84 0,92 1,00 1,08 1,16	0,53457 0,57451 0,61312 0,65032 0,68602 0,72014 0,75260 0,78333 0,81225 0,83930	1,87627 1,80022 1,71080 1,60852 1,49467 1,37142 1,24212 1,11150 0,98571 0,87241	0,28491 0,31913 0,35838 0,40430 0,45898 0,52511 0,60590 0,70475 0,82403 0,96205

 

Найдем приближенные значения интеграла

Значения различаются в десятичных долях, но второе значение точнее первого, поэтому принимаем .

Задание 2. а) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

.

б) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n = 8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.

.

Решение

а) Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n так, чтобы

. (*)

Здесь

Находим

 

Положим М ₂ = 7, тогда неравенство (*) примет вид , откуда n²> 252, т.е. n> 16; возьмем n= 20.

Вычисление интеграла производим по формуле

где

Все расчеты приведены в табл. 49.

Таблица 49

	0,70 0,73 0,76 0,79 0,82	0,4900 0,5329 0,5776 0,6241 0,6724	1,2800 1,3658 1,4552 1,5482 1,6448	1,1314 1,1686 1,2063 1,2443 1,2825	0,88386	0,85572 0,82898 0,80366 0,77973

 

 

Окончание табл. 49

 

	0,85 0,88 0,91 0,94 0,97 1,00 1,03 1,06 1,09 1,12 1,15 1,18 1,21 1,24 1,27 1,30	0,7225 0,7744 0,8281 0,8836 0,9409 1,0000 1,0609 1,1236 1,1881 1,2544 1,3225 1,3924 1,4641 1,5376 1,6129 1,6900	1,7450 1,8488 1,9562 2,0672 2,1818 2,3000 2,4218 2,5472 2,6762 2,8088 2,9450 3,0848 3,2282 3,3752 3,5258 3,6800	1,3210 1,3597 1,3986 1,4378 1,4771 1,5166 1,5562 1,5960 1,6356 1,6759 1,7161 1,7564 1,7967 1,8372 1,8777 1,9187	0,52129	0,75700 0,73546 0,71501 0,69551 0,67700 0,65937 0,64259 0,62657 0,61140 0,59669 0,61140 0,59669 0,58272 0,56935 0,55658 0,54431
					1,40515	12,77022

 

Таким образом,

.

б) Согласно условию n= 8, поэтому h= (b–a) /n= (1,6–1,2)/8=0,05.

Вычислительная формула имеет вид

I= (y ₀ +4y ₁ +2y ₂ +4y ₃ +2y ₄ +4y ₅ +2y ₆ +4y ₇ +y ₈ ),

где

Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в табл. 50.

Следовательно,

Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функции до разностей четвертого порядка (табл. 51).

Так как то остаточный член формулы

.

Таблица 50

i	xi				y0, y8	y1, y3, y5, y7	y2, y4, y6
	1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60	0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10	0,29552 0,38942 0,47940 0,56460 0,64420 0,71740 0,78330 0,84150 0,89120	2,4400 2,5625 2,6900 2,8225 2,9600 3,1024 3,2500 3,4025 3,5600	0,1211   0,2503	0,1520   0,2000   0,2312   0,2473	0,1782   0,2176   0,2410
					0,3713	0,8305	0,6368

 

Вычисления производились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточного члена на погрешность не влияет.

Погрешность вычислений можно оценить из соотношения

Значит, полученные четыре десятичных знака верны.

Таблица 51

i	yi
	0,1211 0,1520 0,1782 0,2000 0,2176 0,2312 0,2410 0,2473 0,2503	0,0309 0,0262 0,0218 0,0176 0,0136 0,0098 0,0063 0,0030	–0,0047 –0,0044 –0,0042 –0,0040 –0,0038 –0,0035 –0,0035	0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0002	–0,0001 0,0000 0,0000 0,0001 –0,0001

 

Задание 3. Найти приближенное значение интеграла по формуле «трех восьмых», используя для контроля точности вычислений двойной просчет при n ₁ = 9 и n ₂ = 12.

Решение

Воспользуемся формулой «трех восьмых», выражающей данный интеграл через суммы значений подынтегральной функции

где

число разбиений n должно быть кратным трем.

 

1)

Вычисления запишем в таблице (табл. 52).

 

Таблица 52

i	xi
	1,20 1,44 4,68 1,92 2,16 2,40 2,64 2,88 3,12 3,36	1,57600 1,82944 2,12896 2,47456 2,86624 3,30400 3,78784 4,31776 4,89376 5,51584	3,42127 3,52866 3,64657 3,77291 3,90599 4,04450 4,18742 4,33392 4,48338 4,63530	0,46065     1,18996	0,51845 0,58383   0,73381 0,81691   0,99627 1,09153	0,65588     0,90458
	1,65061	4,74080	1,56046
S 1	S 2	S 3

 

2)

Составим аналогичную таблицу вычислений (табл.53).

Полученные результаты совпадают с точностью до стотысячных, поэтому принимаем .

 

 

Таблица 53

 

i	xi
	1,20 1,38 1,56 1,74 1,92 2,10 2,28 2,46 2,64 2,82 3,00 3,18 3,36	1,57600 1,76176 1,97344 2,21104 2,47456 2,76400 3,07936 3,42064 3,78784 4,18096 4,60000 5,04496 5,51584	3,42127 3,50073 3,58644 3,67744 3,77299 3,87216 3,97464 4,07986 4,18742 4,29700 4,40832 4,52115 4,63530	0,46065   1,18996	0,50325 0,55025   0,65588 0,71381   0,83842 0,90458   1,04348 1,11586	0,60124     0,77475     0,97300
	1,65061	6,32553	2,34899
S 1	S 2	S 3

 

 

Задание на лабораторную работу №1

 

Выполнить следующие работы в табличном редакторе (например, MS Excel) и проверить решение в Mathcad.

 

Работа 1

 

Задание. 1) Вычислить интеграл по формулам левых и правых прямоугольников при n= 10, оценивая точность с помощью сравнения полученных результатов:

;

 

2) Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников, используя для оценки точности двойной просчет при n ₁ = 8; n ₂ = 10:

.

 

Варианты к первому заданию приведены в табл. 6.1 прил.6, варианты ко второму – в табл. 6.2 прил. 6.

 

Работа 2

Задание. 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

;

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n = 8; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.

.

Варианты заданий к п. 1) приведены в табл. 6.3 прил.6, к п.2) – в табл. 6.4. прил.6.

 

 

Работа 3

Задание. Найти приближенное значение интеграла по формуле «трех восьмых», используя для контроля точности вычислений двойной просчет при n ₁=9 и n ₂=12.

.

Варианты заданий приведены в табл. 6.5 прил.6.

 

 

Приложение 6

Таблица 6.1

 

№ вар.	A	b	a 1	b 1	c 1	a 2	b 2	a 3	b 3	c 3
	0,6	1,4	1,0	0,0	5,0	2,0	0,0	1,00	0,0	0,5
	0,4	1,2	0,0	0,5	2,0	0,0	0,8	2,00	0,0	1,0
	0,8	1,8	0,8	0,0	1,0	1,0	0,0	1,05	0,0	2,0
	1,0	2,2	0,0	1,5	0,6	0,0	1,6	0,80	0,0	2,0
	1,2	2,0	2,0	0,0	1,6	2,0	0,0	0,50	0,0	3,0
	1,3	2,5	1,0	0,0	0,6	0,0	1,4	0,80	0,0	1,3
	1,2	2,6	0,0	0,4	1,7	1,5	0,0	1,00	0,0	1,3
	0,8	1,6	0,3	0,0	2,3	0,0	1,8	0,00	2,0	1,6
	1,2	2,0	0,0	0,6	1,7	2,1	0,0	0,70	0,0	1,0
	0,8	2,4	0,4	0,0	1,5	0,0	2,5	0,00	2,0	0,8
	1,2	2,8	0,0	1,2	0,7	1,4	0,0	1,30	0,0	0,5
	0,6	2,4	1,1	0,0	0,9	0,0	1,6	0,80	0,0	1,4
	0,7	2,1	0,0	0,6	1,5	2,0	0,0	1,00	0,0	3,0
	0,8	2,4	0,0	1,5	2,3	0,0	3,0	0,00	0,3	1,0
	1,9	2,6	0,0	2,0	1,7	0,0	2,4	1,20	0,0	0,6
	0,5	1,9	0,7	0,0	2,3	0,0	3,2	0,00	0,8	1,4
	1,0	2,6	0,0	0,4	3,0	0,7	0,0	2,00	0,0	0,5
	0,7	2,1	1,7	0,0	0,5	0,0	1,4	0,00	1,2	1,3
	0,6	2,2	0,0	1,5	1,0	1,2	0,0	1,00	0,0	1,8
	1,2	3,0	2,0	0,0	0,7	0,0	1,5	0,00	0,8	1,0
	1,3	2,7	1,3	0,0	0,8	1,7	0,0	0,00	2,0	0,5
	0,6	1,4	1,0	0,0	0,5	2,0	0,0	1,00	0,0	2,5
	0,4	1,2	2,0	0,0	1,0	0,8	0,0	0,00	0,5	2,0

 

Окончание табл. 6.1

 

 

	0,8	1,8	1,5	0,0	2,0	1,0	0,0	0,80	0,0	1,0
	1,0	2,2	0,8	0,0	2,0	0,0	1,6	0,00	1,5	0,6
	1,2	2,0	0,5	0,0	3,0	2,0	0,0	2,00	0,0	1,6
	1,3	2,5	0,8	0,0	1,3	0,0	1,4	1,00	0,0	0,6
	1,2	2,6	1,0	0,0	1,3	1,5	0,0	0,00	0,4	1,7
	0,8	1,6	0,0	2,0	1,6	0,0	1,8	0,30	0,0	2,3
	1,2	2,0	0,7	0,0	1,0	2,1	0,0	0,00	0,6	1,7

 

Таблица 6.2

 

№ вар.	a	b	a 1	b 1	c 1	k	n	a 2	b 2	c 2
	0,2	0,8	0,0	2,0	0,5	2,0	1,0	1,0	0,0	1,0
	0,3	0,9	0,0	0,8	1,2	1,5	1,0	1,0	0,0	0,6
	0,4	1,0	0,0	1,0	1,4	0,8	1,0	2,0	0,0	0,5
	0,6	1,0	0,6	0,0	0,4	1,4	2,0	0,0	1,0	0,7
	0,5	1,3	0,0	0,5	0,4	1,2	1,0	1,0	0,0	0,4
	0,4	0,8	1,0	0,0	0,6	0,7	1,0	0,0	0,8	1,0
	0,3	1,5	0,0	0,3	1,2	1,3	2,0	0,0	0,5	1,0
	0,5	1,8	1,0	0,0	0,6	1,2	1,0	0,0	0,7	0,2
	0,4	1,2	0,0	1,5	0,3	2,3	1,0	0,4	0,0	1,0
	0,4	1,2	1,0	0,0	0,8	1,5	1,0	0,0	0,6	0,5
	0,5	1,3	0,0	0,7	0,4	2,2	1,0	0,3	0,0	0,7
	0,4	1,4	0,8	0,0	1,0	1,4	1,0	0,0	0,3	0,5
	0,2	1,0	0,8	0,0	0,3	0,7	1,0	0,0	1,2	0,3
	0,3	1,1	0,0	0,3	0,5	1,8	1,0	1,0	0,0	0,8
	0,3	1,1	0,6	0,0	0,0	2,4	1,0	0,0	1,0	0,5

 

Окончание табл. 6.2

 

№ вар.	a	b	a 1	b 1	c 1	k	n	a 2	b 2	c 2
	0,4	1,2	0,0	0,4	0,6	0,8	2,0	0,0	1,0	0,5
	0,4	1,8	0,2	0,0	0,7	1,4	1,0	0,0	0,5	0,2
	0,2	1,0	0,0	0,3	0,8	0,9	1,0	0,0	0,4	0,3
	0,3	1,1	0,0	0,8	0,3	1,2	1,0	1,0	0,0	0,4
	0,5	1,3	1,0	0,0	0,2	1,3	1,0	0,0	2,0	0,4
	0,4	1,2	0,0	0,6	0,5	1,5	1,0	1,0	0,0	0,4
	0,2	0,8	1,0	0,0	1,0	2,0	1,0	0,0	2,0	0,5
	0,3	0,9	1,0	0,0	0,6	1,5	1,0	0,0	0,8	1,2
	0,4	1,0	2,0	0,0	0,5	0,8	1,0	0,0	1,0	1,4
	0,6	1,0	0,0	1,0	0,7	1,4	1,0	0,0	0,6	0,4
	0,5	1,3	1,0	0,0	0,4	1,2	1,0	0,0	0,5	0,4
	0,4	0,8	0,0	0,8	1,0	0,7	1,0	1,0	0,0	0,6
	0,3	1,5	0,5	0,0	1,0	1,3	1,0	0,0	0,3	1,2
	0,5	1,1	0,0	0,7	0,2	1,2	1,0	1,0	0,0	0,6
	0,4	1,2	0,4	0,0	1,0	2,3	1,0	1,5	1,5	0,3

 

Таблица 6.3

 

№	а	b	с 1	с 2	№	а	b	с 1	с 2
	0,80	1,60	2,0	1,0		1,20	2,40	1,0	0,5
	1,20	2,70	1,0	3,2		0,40	1,20	1,0	3,0
	1,00	2,00	2,0	1,3		0,60	1,50	2,0	1,0
	0,20	1,20	1,0	1,0		2,00	3,50	1,0	-1,0
	0,80	1,40	2,0	3,0		0,50	1,30	1,0	2,0
	0,40	1,20	0,5	2,0		1,20	2,60	1,0	0,6
	1,40	2,10	3,0	-1,0		1,40	2,20	3,0	1,0

 

Окончание табл. 6.3

 

№	а	b	с 1	с 2	№	а	b	с 1	с 2
	0,80	1,80	1,0	4,0		2,10	3,60	1,0	-3,0
	1,60	2,20	1,0	2,5		1,30	2,50	0,2	1,0
	0,60	1,60	1,0	0,8		0,60	1,40	12,0	0,5
	1,20	2,00	1,0	1,2		1,30	2,10	3,0	-0,4
	1,40	2,00	2,0	0,7		1,40	2,60	1,5	0,7
	3,20	4,00	0,5	1,0		0,15	0,50	2,0	1,6
	0,80	1,70	2,0	0,3		2,30	0,50	1,0	-4,0
	1,20	2,00	0,5	1,5		0,32	0,66	1,0	2,3

 

 

Таблица 6.4

 

№	а	b	f(x)	№	а	b	f(x)
	1,20	2,00			0,80	1,60
	1,60	2,40	(x+ 1 ) sin x		0,40	1,20
	0,20	1,00			0,40	1,20
	0,60	1,40			0,40	0,80
	0,40	1,20			0,18	0,98
	0,80	1,20			0,20	1,80

Окончание табл. 6.4

 

№	а	b	f(x)	№	а	b	f(x)
	1,40	3,00			0,20	1,00
	1,40	2,20			0,80	1,20
	0,40	1,20			0,15	0,63
	0,80	1,60			1,20	2,80
	0,60	1,40			0,60	0,72
	1,20	2,00			0,80	1,20
	2,50	3,30			1,20	2,80
	0,50	1,20			0,80	1,60
	1,30	2,10			1,60	3,20

 

 

Таблица 6.5

 

Вариант	a	b	c 1	c 2	c 3	c 4	Вариант	a	b	c 1	c 2	c 3	c 4
	0,6	2,40	0,5	1,0	0,8	1,4		0,6	2,40	0,4	1,3	0,8	0,4
	1,2	1,64	1,2	0,8	1,0	1,3		1,2	2,64	0,4	0,8	0,7	1,3
	0,8	2,96	0,7	1,5	2,0	0,3		0,8	2,96	0,6	1,4	2,0	0,5
	0,8	2,60	1,5	0,7	2,2	0,5		0,8	2,60	0,9	0,7	1,2	0,5
	1,3	2,74	0,6	0,9	1,0	1,5		1,3	2,74	0,6	1,9	0,7	1,5
	0,5	2,66	0,3	1,2	0,6	1,2		0,5	2,66	0,6	1,4	0,6	1,5
	0,7	2,50	1,5	0,5	1,0	0,8		0,7	2,50	0,5	1,5	2,0	0,4
	0,9	2,34	0,9	1,3	0,5	1,0		0,9	2,34	0,7	0,8	0,4	1,3
	1,0	3,16	0,6	1,5	0,4	2,5		1,0	3,16	0,8	1,3	0,4	2,1
	1,1	2,90	0,7	0,4	1,0	1,5		1,1	2,90	0,4	0,7	1,1	1,2
	1,4	2,84	0,4	1,2	1,2	1,0		1,4	2,84	0,8	1,5	0,4	1,0
	0,4	2,56	0,3	0,8	0,6	1,3		0,4	2,56	0,5	1,2	0,6	1,5
	1,2	2,64	0,2	0,7	0,5	1,2		1,2	2,64	0,3	0,9	1,2	0,5
	1,3	3,46	0,9	1,5	0,4	0,7		1,3	3,46	1,2	2,3	0,4	3,2
	0,5	2,30	1,2	1,2	0,6	1,3		0,5	2,30	0,6	2,5	0,3	1,6