Биномиальный закон распределения

 

Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна р, то число появлений события А — дискретная случайная величина Х, принимающая значения 0, 1, 2, …, m, с вероятностями

P_n(m)=C^mp^mq^n-m (формула Бернулли), где 0< p< 1, q= 1 - p,m= 0,1, ...,n.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распреде­ленной по биномиальному закону, вычисляется по формулам:

M (X) = np,

D(X)=npq.

Пример 2. В аккредитации участвуют 4 коммерческих вуза. Вероятности пройти аккредитацию и получить сертификат для этих вузов, соответственно равны 0,5; 0,4; 0,3; 0,2. Составить закон распределения числа коммерческих ву ­зов, не прошедших аккредитацию. Найти числовые характеристики этого рас­пределения.

Решение. В качестве случайной величины х выступает число коммерче­ских вузов, не прошедших аккредитацию. Возможные значения, которые может принять случайная величина х:0, 1, 2, 3, 4.

Для составления закона распределения необходимо рассчитать соответ­ствующие вероятности. Обозначим через событие a₁ — первый вуз прошел ак­кредитацию, a₂ — второй, a₃— третий, a₄— четвертый. Тогда P(A₁)= 0,5; P(A2)= 0,4; P(A₃)= 0,3; P(A₄)= 0,2. Вероятности для вузов не пройти аккреди­тацию соответственно равны P ( )=1— 0,5=0,5; P( )= 1 — 0,4 = 0,6; p( )= 1 — 0,3 = 0,7; p( )= 1 — 0,2 = 0,8. Тогда имеем:

Х				з
Р	0,012	0,106	0,320	0,394	0,168

Запишем закон распределения в виде таблицы

 

Пример 3.
. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые последовательно посетит студент, чтобы взять необходимую книгу, если в городе 3 библиотеки.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число библиотек, которые посетит студент, чтобы получить необходимую книгу. Возможные значения, которые примет случайная величина х:1, 2, 3.

Обозначим через событие A₁— книга свободна в первой библиотеке,A₂— во второй, A₃— в третьей. ТогдаP(A₁)=Р(A₂)=P(A₃)= 0,3. Вероятность противоположного события, что книга занята = 1 - 0,3 = 0,7.

Для составления закона распределения рассчитаем соответствующие вероятности:

 

Запишем закон распределения в виде таблицы.

 

х
р	0,3	0,21	0,49

 

Проверка: 0,3 + 0,21 + 0,49 = 1.

 

 

Пример 4. Из поступающих в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя та­кие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. В качестве случайной величины х выступает число просмотрен­ных часов. Возможные значения, которые примет случайная величина х:1, 2, 3, 4. Все значения случайной величины зависимы.

Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Для расчета вероятностей будем использовать формулу классической вероятности и теоре­му умножения для зависимых событий.

Пусть событие a₁— первые, взятые наугад, часы, нуждающиеся в чистке,

a₂— вторые, a₃— третьи, a₄— четвертые. Тогда имеем:

 

Х
Р	7/10	7/30	7/120	1/120

 

Пример 5.

Имеются данные о пяти промышленных предприятий района.

№ пред­приятия	Объем произве­денной продукции, тыс. руб.	Среднесписочное число работающих, тыс. чел	Выработка на одного работающего, руб.

Определите для данной совокупности средние показатели:
а) объема произведенной продукции;
б) числа работающих;
в) выработки на одного работающего.

Решение

а) средний показатель объема произведенной продукции рассчитаем по форме средней арифметической невзвешенной.
,
где x_i – значения объема произведенной продукции i -го предприятия, n – число предприятий.
тыс. руб.
б) средний показатель числа рабочих рассчитаем по форме средней арифметической невзвешенной.
, где x_i – среднесписочное число р абочих i -го предприятия, n – число предприятий.
тыс. чел.
в) средний показатель выработки на одного работающего рассчитаем по форме средней гармонической взвешенной.
, где x_i – выработка на одного работающего i -го предприятия, f_i – среднесписочное число рабочих i -го предприятия.
руб.

Пример 6.

 

Для изучения качества пряжи была проведена 2%-ая механическая выборка, в результате которой обследовано 100 одинаковых по весу образцов пряжи и получены следующие результаты:

Крепость нити, г	Число образцов
До 160
160-180
180-200
200-220
220-240
240-260
и т о г о

На основании полученных данных вычислите:
1) среднюю крепость нити;
2) все возможные показатели вариации.

 

Решение

Среднюю величину рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной:

где x_i - значение осредняемого признака, f_i - частота.
В качестве показателей вариации рассчитаем:
Среднее линейное отклонение, определяемое из отношения суммы, взятых по абсолютной величине отклонений всех вариант от средней арифметической, к объему всей совокупности:

Дисперсия, равную среднему квадрату отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины:

Среднее квадратическое отклонение, характеризующее величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифметической. Равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака отих средней, т.е. из дисперсии:

Произведем дополнительные расчеты в таблице для получения средних величин.

	Середина интервала xi	Частота fi	xifi
				126,6	253,2	16027,56	32055,12
				36,6	256,2	1339,56	9376,92
				16,6	398,4	275,56	6613,44
				3,4		11,56	462,4
				23,4		547,56	10951,2
				43,4	303,8	1883,56	13184,92
					1815,6	20085,36

В результате получим следующие значения:
Средняя крепость нити г.
г.

г.
Вычислим относительные показатели вариации.
Коэффициент осцилляции:
Линейный коэффициент вариации:
Коэффициент вариации:
Коэффициент вариации меньше 33%, значит данная совокупность однородна, колеблемость признака возле среднего значения небольшая.

 

Пример 7.

Для контроля за качеством поступившей партии товара произведено 5%-ное выборочное обследование. При отборе в выборку образцов по схеме механического отбора получены следующие данные о содержании влаги:

Влажность, %	Количество образцов
До 14
14-16
16-18
18-20
20 и выше
Итого

Определите:
1. Средний процент товара влажности.
2. Показатели вариации (абсолютные и относительные).
Решение
Средняя арифметическая взвешенная вычисляется по формуле:

где x_i - значение влажности,
f_i - количество образцов.
Среднее линейное отклонение определяется из отношения суммы, взятых по абсолютной величине отклонений всех вариант от средней арифметической, к объему всей совокупности:

Дисперсией называется средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины:

Среднее квадратическое отклонение - это показатель вариации, характеризующий величину, на которую все варианты в среднем отклоняются от средней арифметической. Равно корню квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака отих средней, т.е. из дисперсии:

Произведем дополнительные расчеты в таблице для получения средних величин.

	xi	fi	xifi
				3,2		10,24	204,8
				1,2		1,44	43,2
				0,8		0,64
				2,8		7,84	156,8
				4,8		23,04	115,2
				12,8		43,2

В результате получим следующие значения:




Вычислим относительные показатели вариации.
Коэффициент осцилляции:
Линейный коэффициент вариации:
Коэффициент вариации: