Вычисление площади поверхности.

Пусть поверхность задана параметрически {x=x(u,v),y=y(u,v), z=z(u,v), 

(u,v)∈D, или в векторной форме

(xyz)=(x(u,v)y(u,v)z(u,v))=r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k.

Тогда площадь поверхности равна

S=∬D|[r′u(u,v),r′v(u,v)]|dudv.

Пусть поверхность задана явно уравнением z=f(x,y), (x,y)∈D. Всякую такую поверхность можно задать параметрически (взяв в качестве параметров x,y) или в векторной форме уравнением r=r(x,y)=xi+yj+f(x,y)k. Тогда

r′x(x,y)=i+f′x(x,y)k, r′y(x,y)=j+f′y(x,y)k,

[r′x(x,y),r′y(x,y)]=|ijk10f′x(x,y)01f′y(x,y)|=−f′x(x,y)i−f′y(x,y)j+k.

Поэтому |[r′x(x,y),r′y(x,y)]|=1+(f′x(x,y))2+(f′y(x,y))2, и площадь поверхности может быть найдена по формуле

S=∬D1+(f′x(x,y))2+(f′y(x,y))2dxdy.

17.Физические приложения двойного интеграла.

Масса и статические моменты пластины

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости O xy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна . Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде

Статический момент пластины относительно оси O x определяется формулой

Аналогично находится статический момент пластины относительно оси O y:

Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости O xy с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами

Для однородной пластины с плотностью для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом.

Моменты инерции пластины

Момент инерции пластины относительно оси O x выражается формулой

Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси O y:

Полярный момент инерции пластины равен

Заряд пластины

Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости O xy и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением

Среднее значение функции

Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y)является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости O xy. Среднее значение функции μ функции f (x,y) в области R определяется формулой

где − площадь области интегрирования R.

18.Криволинейный интеграл по длине дуги (криволинейный интеграл 1-го рода).

Пусть функция f (x, у) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К, имеющей уравнение .

Разобьем дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками A = A ₀, A ₁, A ₂,…, A_n = B; пусть - длина дуги A_k -1 A_k. На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку M_k (x_k, y_k) и умножим значение функции f (x_k, y_k) в этой точке на длину соответствующей дуги.

О п р е д е л е н и е. Интегральной суммой для функции f (x, у) по длине дуги АВ называется сумма вида

.

О п р е д е л е н и е. Криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f (x, у) (или криволинейным интегралом 1- го рода) называется конечный предел интегральной суммы (122) при стремлении к нулю.

Это обозначатся так:

.

Здесь dS – дифференциал дуги.